Question

2．設(shè)f（x）=（x+a）lnx-ax+1
（1）a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a≥1，對(duì)任意的x∈[$\frac{1}{2}$，1]，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=0時(shí)，f（x）=xlnx+1，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)f′（x）=lnx+1+$\frac{a}{x}$-a，f″（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=xlnx+1，
其定義域?yàn)椋?，+∞）；且f′（x）=lnx+1，
故x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{e}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$）；
（2）f′（x）=lnx+1+$\frac{a}{x}$-a，f″（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵a≥1，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f″（x）≤0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，
則f′（x）≥f′（1）=1＞0，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
故f（x）的最大值為f（1）=1-a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式，利用導(dǎo)數(shù)求最值，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查了抽象概括能力，運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查了函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合的思想．