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【題目】在某次數(shù)學測驗中,學號為的四位同學的考試成績,且滿足.
(1)求四位同學的考試成績互不相同的概率;
(2)設(shè)四位同學中恰有位同學的考試成績?yōu)?/span>96分,求隨機變量的概率分布列及數(shù)學期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與有相同的極值點(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值),求的值;
(2)記.
①若在區(qū)間(為自然對數(shù)底數(shù))上至少存在一點,使得成立,求的取值范圍;
②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點的切線,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)為數(shù)列的前項和,若(為常數(shù))對任意恒成立.
(1)若,求的值;
(2)若,且.
①求數(shù)列的通項公式;
②若數(shù)列滿足,且,求證:數(shù)列為等比數(shù)列.
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【題目】某生態(tài)農(nóng)場有一矩形地塊,地塊內(nèi)有一半圓形池塘(如圖所示),其中百米,百米,半圓形池塘的半徑為1百米,圓心與線段的中點重合,半圓與的左側(cè)交點為.該農(nóng)場計劃分別在和上各選一點,修建道路,要求與半圓相切.
(1)若,求該道路的總長;
(2)若為觀光道路,修建費用是4萬元/百米,為便道,修建費用是1萬元/百米,求修建觀光道路與便道的總費用的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的左焦點為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知圓,連接并延長交圓于點為橢圓長軸上一點(異于左、右焦點),過點作橢圓長軸的垂線分別交橢圓和圓于點(均在軸上方).連接,記的斜率為,的斜率為.
①求的值;
②求證:直線的交點在定直線上.
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【題目】已知橢圓的離心率,左、右焦點分別為、,拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知圓的切線(直線的斜率存在且不為零)與橢圓相交于、兩點,那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點?如果是,求出定點的坐標;如果不是,請說明理由.
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【題目】某少兒游泳隊需對隊員進行限時的仰臥起坐達標測試.已知隊員的測試分數(shù)與仰臥起坐
個數(shù)之間的關(guān)系如下:;測試規(guī)則:每位隊員最多進行三組測試,每組限時1分鐘,當一組測完,測試成績達到60分或以上時,就以此組測試成績作為該隊員的成績,無需再進行后續(xù)的測試,最多進行三組;根據(jù)以往的訓練統(tǒng)計,隊員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時測試的頻率分布直方圖如下:
(1)計算值;
(2)以此樣本的頻率作為概率,求
①在本次達標測試中,“喵兒”得分等于的概率;
②“喵兒”在本次達標測試中可能得分的分布列及數(shù)學期望.
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