過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點作圓x²+y²=a²的兩條切線，切點分別為A、B．若∠AOB=120°（O是坐標原點），則雙曲線C的離心率為 ．

兩個正數a，b的等差中項是5，等比中項是4．若a＞b，則雙曲線

x2

a

-

y2

b

=1的漸近線方程是 ．

A、 x2 2 - y2 3 =1

B、 x2 3 - y2 2 =1

C、 x2 4 -y2=1

D、x2- y2 4 =1

A、2

B、18

C、2或18

D、16

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為-2的等差數列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列（m≥3，m∈N^*），并對任意n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）當m=12時，求a₂₀₁₀；
（2）若a52=

1

128

，試求m的值；
（3）判斷是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以拋物線y2=4

3

x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=

1

mn

y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

已知關于t的方程t²-2t+a=0（a∈R）有兩個虛根t₁、t₂，且滿足|t1-t2|=2

3

（1）求方程的兩個根以及實數a的值．
（2）若對于任意x∈R，不等式log_a（x²+a）≥-k²+2mk-2k對于任意的k∈[2，3]恒成立，求實數m的取值范圍．

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為梯形，AB平行于CD，AD=DC=DD1=

1

2

AB=1，AD₁⊥A₁C，E是A₁B₁中點．
（1）求證：CD⊥A₁D₁．
（2）求二面角C-D₁E-B₁的大�。�

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個