（2011•徐州模擬）如圖，某新建小區(qū)有一片邊長為1（單位：百米）的正方形剩余地塊ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)y=

2

9x

(

1

3

≤x≤

2

3

)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段．為了美化該地塊，計劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計），直路l與曲線段MN相切（切點記為P），并把該地塊分為兩部分．記點P到邊AD距離為t，f（t）表示該地塊在直路左下部分的面積．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面積S=f（t）的最大值．

（2011•徐州模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓B：（x-1）²+y²=16與點A（-1，0），P為圓B上的動點，線段PA的垂直平分線交直線PB于點R，點R的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C與x軸正半軸交點記為Q，過原點O且不與x軸重合的直線與曲線C的交點記為M，N，連接QM，QN，分別交直線x=t（t為常數(shù)，且t≠2）于點E，F(xiàn)，設(shè)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

（2011•南通三模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若f′(

1

3

)=0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)0≤x≤1時，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

（2011•南通三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其焦點在圓x²+y²=1上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B，M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角θ，使

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

．
（i）求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
（ii）求OA²+OB²．

（2011•南通三模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，證明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）設(shè)D是BC的中點，E是A₁C₁上的一點，且A₁B∥平面B₁DE，求

A1E

EC1

的值．

（2011•徐州模擬）過點P（5，4）作直線l與圓O：x²+y²=25交于A，B兩點，若PA=2，則直線l的方程為．

（2011•徐州模擬）已知點P，A，B，C是球O表面上的四個點，且PA，PB，PC兩兩成60°角，PA=PB=PC=1cm，則球的表面積為cm²．

（2011•徐州模擬）若中心在原點、焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線方程為x+3y=0，則此雙曲線的離心率為．

（2011•徐州模擬）若m∈（0，3），則直線（m+2）x+（3-m）y-3=0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于

9

8

的概率為．

（2011•南通三模）已知（a+i）²=2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù) a=．