已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=

1

2

．當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，點(diǎn)（S_n-1，S_n）在直線y=2x+

1

2

上，數(shù)列{b_n}滿足bn=log

1

2

an(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和為T_n．求T_n．

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=8，a₄=16；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足T_n=2-b_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

a

2 n

•b_n，證明：當(dāng)n≥3且n∈N^*時(shí)，c_n+1＜c_n．

設(shè){a_n}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？說明理由；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=215-an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積的最大值．

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

4

x²+bx-

3

4

，已知不論α、β為何實(shí)數(shù)，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，對(duì)正數(shù)數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求b的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）問是否存在等比數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2對(duì)于一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論．
（4）若

cn

=

1

1+an

（n∈N₊），且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較T_n與

1

6

的大小，并給予證明．

已知數(shù)列{a_n}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n2，則

99

25

是數(shù)列{a_n}中的第（　�。╉�(xiàng)．

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

2

3

an+

1

3

，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=（　�。�

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足an+1=3an+2n(n∈N*)且a₁，a₂+5，a₃ 成等差數(shù)列．
（1）求a₁的值；
（2）求證：數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a1=

1

2

，an+1=

n+1

2n

an．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=n(2-Sn)，n∈N*，若集合M={n|bn≥λ，n∈N*}恰有4個(gè)元素，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n，b_n滿足關(guān)系bn=2an，且數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t，使m，s，t成等差數(shù)列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請(qǐng)說明理由．