如圖，已知曲線C：y=x²（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1）．取線段OQ的中點(diǎn)A₁，過(guò)A₁作x軸的垂線交曲線C于P₁，過(guò)P₁作y軸的垂線交RQ于B₁，記a₁為矩形A₁P₁B₁Q的面積．分別取線段OA₁，P₁B₁的中點(diǎn)A₂，A₃，過(guò)A₂，A₃分別作x軸的垂線交曲線C于P₂，P₃，過(guò)P₂，P₃分別作y 軸的垂線交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，記a₂為兩個(gè)矩形A₂P₂B₂A₁與矩形A₃P₃B₃B₁的面積之和．以此類(lèi)推，記a_n為2^n-1個(gè)矩形面積之和，從而得數(shù)列{a_n}，設(shè)這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ） 求a₂與a_n；
（Ⅱ） 求S_n，并證明S_n＜

1

3

．

（1）已知一個(gè)等比數(shù)列的前10項(xiàng)和為10，前20項(xiàng)和為30，求其前50項(xiàng)的和．
（2）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足

1

2

a₁+

1

22

+…+

1

2n

a_n=2ⁿ⁺¹-1（n∈

•

N

），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

已知等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₅=9，a₄-2a₂=1．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且b₁=2a₁，b₄=a₄+a₅，求T_n．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n+a
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求a的值．

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂+a₃=6．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）若Tn=

3

a1a2

+

3

a2a3

+

3

a3a4

+…+

3

anan+1

，求證：T_n＜2．

一個(gè)球從243m的高處自由落下，每次著地后又彈回到原高度的三分之一再落下．設(shè)計(jì)一個(gè)程序，求當(dāng)它第6次著地時(shí)，
（1）向下的運(yùn)動(dòng)共經(jīng)過(guò)多少米？
（2）第6次著地后反彈多高？
（3）全程共經(jīng)過(guò)多少米？

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

1

3

(an-1)，求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式．

已知數(shù)列a₁，a₂，…，a₃₀，其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差為d的等差數(shù)列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列．
（Ⅰ）若a₂₀=40，求 d；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求這個(gè)數(shù)列三十項(xiàng)的和S₃₀．

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁+a₃=-2，a₄+a₇=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式S_n+a≥2n對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．