已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=f（-2）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．則不等式f（x）＜1的解集是（　�。�

定義：若

h(x)

xk

在[k，+∞]上為增函數(shù)，則稱h（x）為“k次比增函數(shù)”，其中k∈N^*，已知f（x）=e^ax．
（Ⅰ）若f（x）是“1次比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)g（x）=

f(x)

x

在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅲ）求證：

n

i=1

1

i•( e )i

＜

7

2e

．

對(duì)于函數(shù)y=f（x），若存在開(kāi)區(qū)間D，同時(shí)滿足：①存在t∈D，當(dāng)x＜t時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞t時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；②對(duì)任意x＞0，只要t-x，t+x∈D，都有f（t-x）＞f（t+x），則稱y=f（x）為D內(nèi)的“勾函數(shù)”．
（1）證明：函數(shù)y=|log_ax|（a＞0，a≠1）為（0，+∞）內(nèi)的“勾函數(shù)”；
（2）若D內(nèi)的“勾函數(shù)”y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=g′（x），y=g（x）在D內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，求證：g′(

x1+x2

2

)＞0；
（3）對(duì)于給定常數(shù)λ，是否存在m，使函數(shù)h（x）=

1

3

λx³-

1

2

λ²x²-2λ³x+1在（m，+∞）內(nèi)為“勾函數(shù)”？若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（1）若函數(shù)f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，有f′(x0)=

y1-y2

x1-x2

成立？若存在，請(qǐng)求出x₀的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x，其中a≥0．
（Ⅰ）若f′（0）=-4，求a的值，并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜1時(shí)，試確定函數(shù)g（x）=f（x-a）-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-bx在x=±1處取得極值．則ab的值是．

若f（x）=ax³+x在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)遞增的，則a的取值范圍為（　�。�

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2-2ax+3有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

∫

2 0

（x³+1）dx的值為．