Question

2．如圖甲、乙為宇宙空間存在的兩種三星系統(tǒng)，這樣的三星系統(tǒng)均離其它恒星較遠，甲圖中三個星的質(zhì)量均為m，三個星的連線構(gòu)成正三角形，三角形在圖中所示的圓周上運勻速圓周運動，圖乙中D、E的質(zhì)量也為m，D、E分別在其它兩個星的引力作用下繞圖中所示的圓周做勻速圓周運動，F(xiàn)星在D、E做圓周運動的圓心上．
（1）試證明甲圖所示的系統(tǒng)中，每個星體做圓周運動的周期T的平方與軌道半徑R的三次方的比值由星體本身的質(zhì)量決定；
（2）若兩個系統(tǒng)做圓周運動的半徑相同，周期也相同，則F星的質(zhì)量為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力，圖中每顆星圓周運動的向心力由另外兩顆星對其萬有引力的合力提供，據(jù)合成求解．
（2）D、E圓周運動的向心力由彼此間的引力與F對其引力的合力提供，根據(jù)合求關(guān)系求解F的質(zhì)量．

解答 解：（1）第一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，

令圓周運動的軌道半徑為R，兩星間的距離L=2Rcos30°=$\sqrt{3}R$由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$2•G\frac{mm}{（\sqrt{3}R）^{2}}•cos30°=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}$=$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}$，即比值由恒星的質(zhì)量決定．
（2）令F的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力合力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mm}{（2R）^{2}}+G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
整理得：$\frac{{T}^{2}}{{R}^{3}}=\frac{16{π}^{2}}{G（m+4M）}$
由（1）分析可得$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}=\frac{16{π}^{2}}{G（m+4M）}$
可得M=$\frac{4-\sqrt{3}}{4}m$
答：（1）每個星體做圓周運動的周期T的平方與軌道半徑R的三次方的比值為$\frac{4{π}^{2}•\sqrt{3}}{Gm}$，由m決定；
（2）若兩個系統(tǒng)做圓周運動的半徑相同，周期也相同，則F星的質(zhì)量為$\frac{4-\sqrt{3}}{4}m$．

點評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進行正確受力分析．