Question

1．如圖所示，在xOy平面內(nèi)0＜x＜L的區(qū)域內(nèi)有一方向豎直向上的勻強(qiáng)電場，x＞L的區(qū)域內(nèi)有一方向垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場．某時刻，一帶正電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)，以沿x軸正方向的初速度v₀進(jìn)入電場；之后的另一時刻，一帶負(fù)電粒子以同樣的初速度從坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入電場．正、負(fù)粒子從電場進(jìn)入磁場時速度方向與電場和磁場邊界的夾角分別為60°和30°，兩粒子在磁場中分別運(yùn)動半周后恰好在某點(diǎn)相遇．已知兩粒子的重力以及兩粒子之間的相互作用都可忽略不計(jì)．求：
（1）正、負(fù)粒子的比荷之比$\frac{{q}_{1}}{{m}_{1}}$：$\frac{{q}_{2}}{{m}_{2}}$；
（2）正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑大小；
（3）兩粒子先后進(jìn)入電場的時間差．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，將運(yùn)動分解，結(jié)合牛頓第二定律即可求出；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出它們的半徑；
（3）由周期與半徑的關(guān)系：$T=\frac{2πr}{v}$分別求出它們的周期，然后求出它們的磁場中運(yùn)動 的時間，即可求出兩粒子先后進(jìn)入電場的時間差．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)磁場方向與邊界夾角為θ，粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動，則：
$t=\frac{L}{{v}_{0}}$
沿電場線的方向：$a=\frac{qE}{m}$，v_y=at
又：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{qEL}{m{v}_{0}^{2}}$
聯(lián)立得：
$\frac{{q}_{1}}{{m}_{1}}：\frac{{q}_{2}}{{m}_{2}}=\frac{1}{tan60°}：\frac{1}{tan30°}=1：3$
（2）粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)量：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE{L}^{2}}{2m{v}_{0}^{2}}$∝$\frac{q}{m}$
所以：$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{1}{3}$
又：$y=\frac{{v}_{y}}{2}t$
兩粒子離開電場位置間的距離：d=y₁+y₂ 
磁場中圓周運(yùn)動速度：$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$，
所以：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{sin60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，${v}_{2}=\frac{{v}_{0}}{sin30°}=2{v}_{0}$
由洛倫茲力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$，
得：$r=\frac{mv}{qB}$，
所以：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{1}$
根據(jù)題意作出運(yùn)動軌跡，兩粒子相遇在P點(diǎn)，
由幾何關(guān)系可得：
2r₁=dsin60°
2r₂=dsin30°
聯(lián)立解得：${r}_{1}=\frac{\sqrt{3}d}{4}=\frac{1}{2}L$，${r}_{2}=\frac{1}{4}d=\frac{\sqrt{3}}{6}L$
（3）粒子在磁場中運(yùn)動的周期：$T=\frac{2πr}{v}$
兩粒子在磁場中運(yùn)動時間均為半個周期，則：t₁=$\frac{π{r}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{π•\frac{1}{2}L}{\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}πL}{4{v}_{0}}$，${t}_{2}=\frac{π{r}_{2}}{{v}_{2}}=\frac{π•\frac{\sqrt{3}}{6}L}{2{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}πL}{12{v}_{0}}$
由于兩粒子在電場中時間相同，所以進(jìn)電場時間差即為磁場中相遇前的時間差：
$△t={t}_{1}-{t}_{2}=\frac{\sqrt{3}πL}{4{v}_{0}}-\frac{\sqrt{3}πL}{12{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$
答：（1）正、負(fù)粒子的比荷之比是1：3；
（2）正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑大小分別是$\frac{1}{2}L$和$\frac{\sqrt{3}}{6}L$；
（3）兩粒子先后進(jìn)入電場的時間差是$\frac{\sqrt{3}πL}{6{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 該題考查帶電粒子在電場中的運(yùn)動和帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，正電荷與負(fù)電荷雖然偏轉(zhuǎn)的方向相反，但是運(yùn)動的規(guī)律基本相同，可以先求出通式再具體分開，也可以直接分別求出，根據(jù)自己的習(xí)慣來解答，答對就好．