Question

11．天宮一號(hào)是我國(guó)研發(fā)的一個(gè)目標(biāo)飛行器，目的是作為其他飛行器的接合點(diǎn)，是中國(guó)空間實(shí)驗(yàn)室的雛形，于北京時(shí)間2011年9月29日21時(shí)16分03秒發(fā)射升空．
（1）若萬(wàn)有引力常量為G，地球質(zhì)量為M_D，地球半徑為R_D，天宮一號(hào)離地面的高度為H，求：天宮一號(hào)的運(yùn)行周期T；
（2）發(fā)射天宮一號(hào)的速度必須大于第一宇宙速度，試推導(dǎo)第一宇宙速度的表達(dá)式；若R_D=6370km，g取9.8m/s²，求出第一宇宙速度的值；
（3）若萬(wàn)有引力常量為G，中心天體的質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的物體距中心天體r時(shí)具有的引力勢(shì)能為E_P=-G$\frac{Mm}{r}$（以無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為0）
①求出第二宇宙速度的值；
②若把地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道近似認(rèn)為是圓，且不計(jì)其它星體對(duì)飛行物體的作用力，地球的公轉(zhuǎn)速度為29.8km/s，求第三宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）飛行器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由地球的萬(wàn)有引力等于向心力求解天宮一號(hào)運(yùn)行的周期；
（2）繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，可認(rèn)為其軌道半徑是地球的半徑R，可利用萬(wàn)有引力提供它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)進(jìn)行求解；
（3）由 G$\frac{{{M_D}m}}{R_D^2}$=m$\frac{v^2}{R_D}$可得：G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=mv²，根據(jù)動(dòng)能定理求出擺脫地球的約束所需要的速度即為第二宇宙速度，同理求出擺脫太陽(yáng)的約束速度，由于隨地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的物體已具有地球的公轉(zhuǎn)速度29.8km/s，則只需沿太陽(yáng)公轉(zhuǎn)方向的速度達(dá)到 v_w=v_Tx-v_T即可，又因?yàn)榘l(fā)射地球表面的物體還需擺脫地球約束的動(dòng)能$\frac{1}{2}$mv₂²，再根據(jù)動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）飛行器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由地球的萬(wàn)有引力提供等于向心力得：
G$\frac{{{M_D}m}}{{{{（{{R_D}+H}）}^2}}}$=m$\frac{{4{π^2}}}{T^2}$（R_D+H）
解得：T=2π（R_D+H）$\sqrt{\frac{{R{\;}_D+H}}{{G{M_D}}}}$
（2）繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，萬(wàn)有引力等于重力并提供向心力，則有G$\frac{{{M_D}m}}{R_D^2}$=m$\frac{v^2}{R_D}$=mg
則第一宇宙速度  v=$\sqrt{\frac{{GM{\;}_D}}{R_D}}$=$\sqrt{g{R_D}}$
代入數(shù)據(jù)得：v=$\sqrt{g{R_D}}$=7.9 km/s    
（3）由 G$\frac{{{M_D}m}}{R_D^2}$=m$\frac{v^2}{R_D}$可得：G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=mv²
若擺脫地球的約束，則有：$\frac{1}{2}$mv₂²-G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=0  可得：v₂=$\sqrt{2}$v=11.2 km/s
同理：在地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)行的物體繞太陽(yáng)做圓運(yùn)動(dòng)時(shí)
G$\frac{{{M_T}m}}{R_T^2}$=m$\frac{{{v}_{T}}^{2}}{{R}_{T}}$
G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=m${v}_{D}^{2}$
v_T=29.8 km/s
擺脫太陽(yáng)的約束速度為v_Tx
$\frac{1}{2}$mv_Tx²-G$\frac{{{M_D}m}}{R_D}$=0     
v_Tx=$\sqrt{2}$v_T=42.2 km/s
由于隨地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的物體已具有地球的公轉(zhuǎn)速度29.8km/s，則只需沿太陽(yáng)公轉(zhuǎn)方向的速度達(dá)到  v_w=v_Tx-v_T=12.4 km/s  即可
又因?yàn)榘l(fā)射地球表面的物體還需擺脫地球約束的動(dòng)能$\frac{1}{2}$mv₂²
則：發(fā)射地球表面的物體擺脫太陽(yáng)約束的第三速度為v₃
有    $\frac{1}{2}$mv₃²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv_w²
解得：v₃=16.7 km/s      
答：（1）天宮一號(hào)的運(yùn)行周期為2π（R_D+H）$\sqrt{\frac{{R{\;}_D+H}}{{G{M_D}}}}$；
（2）第一宇宙速度的表達(dá)式為v=$\sqrt{g{R_D}}$；若R_D=6370km，g取9.8m/s²，第一宇宙速度的值為7.9 km/s；
（3）①第二宇宙速度的值為11.2 km/s；
②若把地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道近似認(rèn)為是圓，且不計(jì)其它星體對(duì)飛行物體的作用力，地球的公轉(zhuǎn)速度為29.8km/s，第三宇宙速度為16.7 km/s．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是解決這類題目的突破口，找出需要的數(shù)據(jù)列萬(wàn)有引力定律提供向心力公式解題，本題要求同學(xué)們知道三大宇宙速度的意義及求法，難度適中．