Question

3．如圖，兩足夠長(zhǎng)的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=30°，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面向上．質(zhì)量為 m、電阻為R、長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接一個(gè)電阻恒為2R燈泡．現(xiàn)閉合開(kāi)關(guān)K，給金屬棒施加一個(gè)方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌平面向上、大小為F=2mg的恒力，使金屬棒由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，燈泡恰能達(dá)到它的額定功率．金屬導(dǎo)軌電阻不計(jì)，重力加速度為g，求：
（1）金屬棒能達(dá)到的最大速度v_m；
（2）燈泡的額定功率P_L；
（3）若金屬棒上滑距離為d時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開(kāi)始上滑距離2d的過(guò)程中，燈泡上產(chǎn)生的電熱Q_L．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和安培力公式可求出電路中的電流，由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=BLv和歐姆定律結(jié)合求解最大速度；
（2）由功率公式P=I²R求解燈泡的額定功率P_L．
（3）由能量守恒求出電路中的總電熱，再求燈泡上產(chǎn)生的電熱Q_L．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：F=BIL+mgsin30°，又F=2mg
解得感應(yīng)電流為 I=$\frac{3mg}{2BL}$
由閉合電路歐姆定律得：E=I•3R
又 E=BLv_m
聯(lián)立解得 v_m=$\frac{9mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）燈泡的額定功率 P_L=I²R=（$\frac{3mg}{2BL}$）²•2R=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）金屬棒由靜止開(kāi)始上滑距離2d的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒得：燈泡上產(chǎn)生的電熱 Q_L=$\frac{2}{3}$[F•2d-mgsin30°•2d$-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$]
解得 Q_L=2mgd-$\frac{53{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）金屬棒能達(dá)到的最大速度v_m為$\frac{9mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）燈泡的額定功率P_L為$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）燈泡上產(chǎn)生的電熱 Q_L為2mgd-$\frac{53{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式和分析能量如何轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，要熟練掌握電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)，并能綜合應(yīng)用．