Question

2．如圖所示xOy坐標(biāo)系，在第二象限內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第一、第四象限內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向如圖所示．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，電量為+q的帶電粒子在該平面內(nèi)從x軸上的P點(diǎn)，以垂直于x軸的初速度v₀進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰好經(jīng)過(guò)y軸上的Q點(diǎn)且與y軸成45°角射出電場(chǎng)，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間又恰好垂直于x軸進(jìn)入第四象限的磁場(chǎng)．已知OP之間的距離為d（不計(jì)粒子的重力）．求：
（1）O點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）帶電粒子自進(jìn)入電場(chǎng)至在磁場(chǎng)中第二次經(jīng)過(guò)x軸所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用平均速度分別表示水平位移和豎直位移．將粒子在Q點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，得到兩個(gè)分速度的關(guān)系，即可求出O點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離．
（2）畫出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡．由幾何關(guān)系求出粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求解B．
（3）可求出圓周運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)軌跡所對(duì)的圓心角求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．粒子在電場(chǎng)中豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由Q的縱坐標(biāo)和初速度可求出時(shí)間．即能求得總時(shí)間．

解答 解：
（1）設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h，到達(dá)Q點(diǎn)的水平分速度為v_x，則由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知
豎直方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：h=v₀t
水平方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)平均速度 $\overline{v}$=$\frac{0+{v}_{x}}{2}$
  d=$\frac{1}{2}$v_xt
根據(jù)速度的矢量合成 tan45°=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$
可得 h=2d
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T．則由幾何關(guān)系可知：R=$\sqrt{2}$•2d=2$\sqrt{2}$d
帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為  v=$\sqrt{2}$v₀
則由牛頓第二定律得
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 B=$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為  T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{4πd}{{v}_{0}}$
設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁
   t₁=$\frac{2d}{{v}_{0}}$
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂
   t₂=$\frac{135°}{360°}$T+$\frac{1}{2}$T=$\frac{7}{8}$T=$\frac{7πd}{2{v}_{0}}$
則總時(shí)間為   t=t₁+t₂=$\frac{（4+7π）d}{2{v}_{0}}$
答：
（1）O點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離是2d；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$；
（3）帶電粒子自進(jìn)入電場(chǎng)至在磁場(chǎng)中第二次經(jīng)過(guò)x軸所用的時(shí)間是$\frac{（4+7π）d}{2{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)，采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究，要抓住兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性．對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，畫軌跡是關(guān)鍵．