Question

17．如圖甲所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導軌，NQ⊥MN，導軌的電阻均不計．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=4Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導軌平面且方向向上，磁感應強度為B₀=1T．將一根質(zhì)量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，當金屬棒滑行至cd處時達到溫度速度，已知在此過程中通過金屬棒截面的電量q=0.2C，且金屬棒的加速度a與速度v的關系如圖乙所示，設金屬棒沿向下運動過程中始終與NQ平行．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）剛開始運動時金屬棒的加速度是多少？金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)μ？
（2）穩(wěn)定運動時金屬棒的速度是多少？cd離NQ的距離s？
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量？
（4）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻時，讓磁感應強度逐漸減小，為使金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，則磁感應強度B應怎樣隨時間t變化（寫出B關于t的函數(shù)關系式）．

Answer 1

分析 （1）當剛釋放時，由圖乙讀出加速度，此時導體棒中沒有感應電流，所以只受重力、支持力與靜摩擦力，由牛頓第二定律可求出動摩擦因數(shù)．
（2）當金屬棒速度穩(wěn)定時加速度為零，由圖乙讀出速度，此時金屬棒受到重力、支持力、安培力與滑動摩擦力達到平衡，這樣可以列出安培力公式，產(chǎn)生感應電動勢的公式，再由閉合電路毆姆定律，列出平衡方程可求出金屬棒的內(nèi)阻，從而利用通過棒的電量來確定發(fā)生的距離．
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，由能量守恒定律求電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（4）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應強度B隨時間t變化的規(guī)律．

解答 解：（1）由圖乙知，當v=0時，a=2m/s²，即剛開始運動時金屬棒的加速度是2m/s²．
由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入解得 μ=0.5       
（2）當金屬棒速度穩(wěn)定時加速度為零，由圖象可知：金屬棒的最大速度為 v_m=2m/s  
當金屬棒達到穩(wěn)定速度時，有 F_A=B₀IL；
且有 B₀IL+μmgcosθ=mgsinθ
解得 I=0.2A；
金屬棒產(chǎn)生的感應電動勢：E=B₀Lv=1×0.5×2=1V；
因 I=$\frac{E}{R+r}$，解得金屬棒的電阻 r=1Ω
電量為：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R+r}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$
即有：s=2m
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，根據(jù)能量守恒定律得：
電阻R上產(chǎn)生的熱量 Q_R=$\frac{R}{R+r}$（mgh-μmgscos37°-$\frac{1}{2}$mv²）
代入解得 Q_R=0.08J
（4）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應電流．此時金屬棒將沿導軌做勻加速運動．              
由牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma
則 a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
根據(jù)磁通量不變，得 B₀Ls=BL（s+vt+$\frac{1}{2}$at²）
則磁感應強度與時間變化關系：B=$\frac{{B}_{0}s}{s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$ T．
答：
（1）剛開始運動時金屬棒的加速度是2m/s²．金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)為0.5； 
（2）穩(wěn)定運動時金屬棒的速度是2m/s，cd離NQ的距離2m；
（3）金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量0.08J；
（4）磁感應強度B應怎樣隨時間t變化規(guī)律為 B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$ T．

點評 本題要準確把握金屬棒的運動情況及其受力情況，知道加速度為零時速度最大，明確電量與金屬棒移動的距離有關，巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．抓住線框的總磁通量不變時，金屬棒中將不產(chǎn)生感應電流．