Question

9．“神八”無人飛船，于2011年11月1日5時(shí)58分10秒由改進(jìn)型“長征二號”F遙八火箭順利發(fā)射升空，與此前發(fā)射的“天宮一號”目標(biāo)飛行器進(jìn)行了空間交會(huì)對接，組合體運(yùn)行12天后，“神八”與“天宮一號”成功分離，返回艙于11月17日19時(shí)許返回地面，設(shè)“神八”與“天宮一號”的組合體在圓軌道上繞地球運(yùn)行n圈所用的時(shí)間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，求：
（1）組合體的圓軌道離地面的高度？
（2）組合體在圓軌道上運(yùn)行的速率？

Answer 1

分析 由題求出“神八”與“天宮一號”的組合體繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)萬有引力等于向心力列出方程，根據(jù)地球表面忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)萬有引力等于重力列出方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）“神八”與“天宮一號”的組合體繞地球運(yùn)行n圈所用的時(shí)間為t，則其周期為：
 T=$\frac{t}{n}$…①
組合體在圓軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
 G•$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）•$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
根據(jù)地球表面，忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)萬有引力等于重力，則得：
 G•$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg…③
由①②③解得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R
（2）由線速度公式得：
組合體在圓軌道上運(yùn)行的速率 v=$\frac{2π（R+h）}{T}$=$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$
答：（1）組合體的圓軌道離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R．
（2）組合體在圓軌道上運(yùn)行的速率為$\root{3}{\frac{2πng{R}^{2}}{t}}$．

點(diǎn)評 本題要掌握萬有引力的作用，天體運(yùn)動(dòng)中萬有引力等于向心力，地球表面忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)萬有引力等于重力，利用兩個(gè)公式即可解決此問題．只是計(jì)算和公式變形時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)誤．