Question

【題目】在如圖甲所示的半徑為r的豎直圓柱形區(qū)域內，存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B=kt（k>0且為常量）。

（1）將一由細導線構成的半徑為r、電阻為R0的導體圓環(huán)水平固定在上述磁場中，并使圓環(huán)中心與磁場區(qū)域的中心重合。求在T時間內導體圓環(huán)產生的焦耳熱。

（2）上述導體圓環(huán)之所以會產生電流是因為變化的磁場會在空間激發(fā)渦旋電場，該渦旋電場趨使導體內的自由電荷定向移動，形成電流。如圖乙所示，變化的磁場產生的渦旋電場存在于磁場內外的廣闊空間中，其電場線是在水平面內的一系列沿順時針方向的同心圓（從上向下看），圓心與磁場區(qū)域的中心重合。在半徑為r的圓周上，渦旋電場的電場強度大小處處相等，并且可以用計算，其中e為由于磁場變化在半徑為r的導體圓環(huán)中產生的感生電動勢。如圖丙所示，在磁場區(qū)域的水平面內固定一個內壁光滑的絕緣環(huán)形真空細管道，其內環(huán)半徑為r，管道中心與磁場區(qū)域的中心重合。由于細管道半徑遠遠小于r，因此細管道內各處電場強度大小可視為相等的。某時刻，將管道內電荷量為q的帶正電小球由靜止釋放（小球的直徑略小于真空細管道的直徑），小球受到切向的渦旋電場力的作用而運動，該力將改變小球速度的大小。該渦旋電場力與電場強度的關系和靜電力與電場強度的關系相同。假設小球在運動過程中其電荷量保持不變，忽略小球受到的重力、小球運動時激發(fā)的磁場以及相對論效應。

①若小球由靜止經過一段時間加速，獲得動能Em，求小球在這段時間內在真空細管道內運動的圈數；

②若在真空細管道內部空間加有方向豎直向上的恒定勻強磁場，小球開始運動后經過時間t0，小球與環(huán)形真空細管道之間恰好沒有作用力，求在真空細管道內部所加磁場的磁感應強度的大小。

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②

【解析】試題（1）導體圓環(huán)內的磁通量發(fā)生變化，將產生感生電動勢，根據法拉第電磁感應定律，感生電動勢為：

導體圓環(huán)內感生電流為：

在T時間內導體圓環(huán)產生的焦耳熱為：Q=I2R0T

解得：

（2）①根據題意可知，磁場變化將在真空管道處產生渦旋電場，該電場的電場強度為：

小球在該電場中受到電場力的作用，電場力的大小為：

電場力的方向與真空管道相切，即與速度方向始終相同，小球將會被加速，動能變大．設小球由靜止到其動能為Em的過程中，小球運動的路程為s，

根據動能定理有：Fs=Em

小球運動的圈數為：

解得：

②小球的切向加速度大小為：

由于小球沿速度方向受到大小恒定的電場力，所以經過時間t0，小球的速度大小v滿足v=at0

小球沿管道做圓周運動，因為小球與管道之間沒有相互作用力，所以，小球受到的洛倫茲力提供小球的向心力，設所加磁場的磁感應強度為B0，

則有：

解得：