Question

20．2010年10月1日，我國(guó)成功發(fā)射了“嫦娥二號(hào)”探月衛(wèi)星，“嫦娥二號(hào)”在距月球表面h₁=100km高度的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，這比“嫦娥一號(hào)”距月球表面h₂=200km的圓形軌道更有利于對(duì)月球表面做出精細(xì)測(cè)繪．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，設(shè)地球半徑為R．求：
（1）地球表面附近與月球表面附近的重力加速度之比；
（2）“嫦娥一號(hào)”與“嫦娥二號(hào)”在各自圓軌道上運(yùn)行速度的大小之比．（用h₁，h₂，R表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力得出重力加速度的表達(dá)式，結(jié)合月球和地球的質(zhì)量之比、半徑之比求出表面的重力加速度之比．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關(guān)系，從而得出線速度之比．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$知，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
因?yàn)樵虑虻馁|(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，月球的半徑約為地球半徑的$\frac{1}{4}$，可知$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}=\frac{81}{16}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，運(yùn)行速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
因?yàn)殒隙鹨惶?hào)和嫦娥二號(hào)的軌道半徑之比為（h₂+R）：（h₁+R），
則嫦娥一號(hào)和嫦娥二號(hào)的線速度之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{h}_{1}+R}{{h}_{2}+R}}$．
答：（1）地球表面附近與月球表面附近的重力加速度之比為81：16；
（2）“嫦娥一號(hào)”與“嫦娥二號(hào)”在各自圓軌道上運(yùn)行速度的大小之比為$\sqrt{\frac{{h}_{1}+R}{{h}_{2}+R}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律得兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．