Question

12．據(jù)國(guó)外媒體報(bào)道，天文學(xué)家目前在距離地球127光年處發(fā)現(xiàn)了一個(gè)擁有7顆行星的“太陽(yáng)系”，這一星系的中央恒星名為“HD10180”．中央恒星通過(guò)萬(wàn)有引力約束這7顆行星，這些行星遵循天體運(yùn)行的基本規(guī)律．分析顯示，其中一顆行星繞中央恒星“HD10180”的公轉(zhuǎn)周期為584天，是地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的1.6倍；與中央恒星“HD10180”的距離是2.3×10⁸km，等于太陽(yáng)和地球之間平均距離的1.6倍，該行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的25倍，半徑是地球半徑的16倍．行星的公轉(zhuǎn)軌道與地球的公轉(zhuǎn)軌道均視為圓周．下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 恒星“HD10180”的質(zhì)量大于太陽(yáng)的質(zhì)量
• B． 該行星的衛(wèi)星的第一宇宙速度大于地球衛(wèi)星的第一宇宙速度
• C． 人在該行星上所受重力比在地球上所受重力大
• D． 在該行星表面附近運(yùn)行的衛(wèi)星的周期大于地球的近地衛(wèi)星周期

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式表示中心體質(zhì)量，然后求比例關(guān)系，再比較大�。�
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式表示線(xiàn)速度，根據(jù)第一宇宙速度的定義求解第一宇宙速度的比例，再比較大小．
（3）在星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，解出兩星球的表面的重力加速度之比，再比較大�。�
（4）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{m{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，解出周期的表達(dá)式，計(jì)算周期之比，再比較大小．

解答 解：A、設(shè)中央恒星質(zhì)量為M₁，這個(gè)行星質(zhì)量m₁，繞恒星運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑r₁，周期T₁，；太陽(yáng)質(zhì)量為M₂，地球質(zhì)量m₂，地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑r₂，周期T₂；
對(duì)行星：$G\frac{{M}_{1}{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}$=m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
對(duì)地球：G$\frac{{M}_{2}{m}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$=m₂r₂$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$
聯(lián)立解得：$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}=\frac{{{T}_{2}}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}{{r}_{2}}^{3}}=\frac{1．{6}^{2}}{1.6}=1.6$
即：M₁＞M₂
故恒星“HD10180”的質(zhì)量大于太陽(yáng)的質(zhì)量，故A正確．
B、設(shè)該行星的第一宇宙速度為v₁，行星的半徑為R₁，則：$G\frac{{m}_{1}m}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{G{m}_{1}}{{R}_{1}}}$
同理地球的第一宇宙速度為：${v}_{2}=\sqrt{\frac{G{m}_{2}}{{R}_{2}}}$
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{m}_{1}{R}_{2}}{{m}_{2}{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{25}{16}}$=$\frac{5}{4}$
即v₁＞v₂
故該行星的衛(wèi)星的第一宇宙速度大于地球衛(wèi)星的第一宇宙速度，故B正確．
C、在星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，${m}_{0}g=G\frac{m{m}_{0}}{{R}^{2}}$，得：$g=\frac{Gm}{{R}^{2}}$
所以行星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比為：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{{m}_{1}{{R}_{2}}^{2}}{{m}_{2}{{R}_{1}}^{2}}$=$25×\frac{1}{1{6}^{2}}$=$\frac{25}{256}$
即g₁＜g₂
故人在該行星上所受重力比在地球上所受重力小，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{m{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{Gm}}$
所以行星表面附近運(yùn)行的衛(wèi)星的周期與地球的近地衛(wèi)星周期之比為：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{R}_{1}}^{3}}{{{R}_{2}}^{3}}×\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}}$=$\sqrt{1{6}^{3}×\frac{1}{25}}=12.8$
即T₁＞T₂
故在該行星表面附近運(yùn)行的衛(wèi)星的周期大于地球的近地衛(wèi)星周期，故D正確．
故選：ABD．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵抓住萬(wàn)有引力提供向心力，列式求解出線(xiàn)速度、周期和向心力的表達(dá)式，再根據(jù)已知量求比例．