Question

3．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩光滑半圓軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球夾住，但不拴接．同時(shí)釋放兩小球，彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為兩球的動(dòng)能，若兩球獲得相等動(dòng)能，其中有一只小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，另一小球在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為mg，兩球離開(kāi)半圓軌道后均做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平軌道的同一點(diǎn)（不考慮小球在水平面上的反彈，不計(jì)空氣阻力）．則（　�。�

• A． 恰好通過(guò)最高點(diǎn)的是b球
• B． a球、b球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
• C． 軌道半徑R=$\frac{4}{3}$r
• D． CD兩點(diǎn)之間的距離為$\frac{6+5\sqrt{2}}{3}$R

Answer 1

分析 小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)，由重力提供向心力，則半徑越大，到達(dá)最高點(diǎn)的動(dòng)能越大，而兩球初動(dòng)能相等，其中有一只小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，
所以是a球剛好到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)對(duì)軌道的壓力為零，分別對(duì)ab兩球在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律列式結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式求解半徑關(guān)系，ab兩球離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，CD的距離等于兩球平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離之和，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解CD的距離．

解答 解：A、由于兩球離開(kāi)軌道后均做平拋運(yùn)動(dòng)且均能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，a球的軌道半徑大，到達(dá)最高點(diǎn)的速度小，故恰好通過(guò)最高點(diǎn)的是a球，故A錯(cuò)誤；
B、a球、b球、彈簧組成的系統(tǒng)只有重力和彈簧彈力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故B正確；
C、對(duì)于a球在最高點(diǎn)有$v=\sqrt{gR}$，b球在最高點(diǎn)有$2mg=m\frac{v{′}^{2}}{r}$，
由機(jī)械能守恒可得$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}mv{′}^{2}+mg•2r$，解得$R=\frac{6}{5}r$，故C錯(cuò)誤；
D、ab兩球離開(kāi)軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，CD的距離等于兩球平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離之和，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式得：
CD之間的距離為${l}_{CD}=\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×2R}{g}}+\sqrt{2gr}×\frac{2×2r}{g}$=$\frac{6+5\sqrt{2}}{3}R$，故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、向心力公式、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式的直接應(yīng)用，過(guò)程較為復(fù)雜，要求同學(xué)們能正確分析小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能根據(jù)基本規(guī)律解題，難度適中．