Question

2．如圖1所示，在xoy平面的第Ⅰ象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁；第Ⅱ、Ⅲ象限內(nèi)同時(shí)存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂和垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，E₂=2.5N/C，磁場(chǎng)B隨時(shí)間t周期性變化的規(guī)律如圖2所示，B₀=0.5T，垂直紙面向外為磁場(chǎng)正方向．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電液滴從P點(diǎn)（0.6m，0.8m）處以速度v₀=3m/s沿x軸負(fù)方向入射，恰好以指向y軸負(fù)方向的速度v經(jīng)過原點(diǎn)O后進(jìn)入x≤0的區(qū)域．已知：m=5×10^-5kg，q=2×10^-4C，t=0時(shí)液滴恰好通過O點(diǎn)，g取10m/s²．

（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度E₁和液滴到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度v的大��；
（2）液滴從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過x軸所需的時(shí)間；
（3）若從某時(shí)刻起磁場(chǎng)突然消失，發(fā)現(xiàn)液滴恰好以與y軸正方向成30°角的方向穿過y軸后進(jìn)入x＞0的區(qū)域，試確定液滴穿過y軸時(shí)的位置．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力液滴在x＞0的區(qū)域內(nèi)受豎直向下的重力和水平向右的電場(chǎng)力的作用．液滴在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，列出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)的方程即可；
（2）提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期，由磁場(chǎng)的變化可以畫出在第一段時(shí)間內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可得到粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）依據(jù)第二問得到的結(jié)果，可以得到在第二，第三和第四時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖中幾何關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可．

解答 解：（1）液滴在x＞0的區(qū)域內(nèi)受豎直向下的重力和水平向右的電場(chǎng)力的作用．
液滴在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)：
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$     
v=gt
解得：v=4m/s
液滴在水平方向上做勻減速運(yùn)動(dòng)
v₀=at     E₁q=ma
E₁=1.875N/C
（2）液滴進(jìn)入x＜0的區(qū)域后，由于 E₂q=mg，液滴運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，其做圓周運(yùn)動(dòng)的大、小圓半徑分別為r₁、r₂，運(yùn)動(dòng)周期分別為T₁、T₂．則
qvB₀=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$
2 qvB₀=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{2}}$
r₁=2 m      r₂=1 m
${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，${T}_{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}}$
即：T₁=π s     T₂=$\frac{π}{2}$s
液滴從P點(diǎn)到第二次穿過x軸經(jīng)過的時(shí)間t_總：
${t}_{總}=t+\frac{{T}_{1}}{4}+\frac{{T}_{2}}{2}=（\frac{π}{2}+0.4）$  s

（3）情形一：若磁場(chǎng)消失時(shí)，液滴在x軸上方，如圖1所示：
OM₁=$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}cos30°}{tan30°}+{r}_{2}（1-sin30°）$=$2\sqrt{3}-1$ m
OM₂=$\frac{3{r}_{1}-{r}_{2}cos30°}{tan30°}+{r}_{2}（1-sin30°）$=$6\sqrt{3}-1$m
根據(jù)周期性可得，液滴穿過y軸時(shí)的坐標(biāo)y_n滿足：
y_n=$\frac{{（2n-1）r}_{1}-{r}_{2}cos30°}{tan30°}+{r}_{2}（1-sin30°）$
y_n=$2\sqrt{3}（2n-1）-1$ m      （式中n=1，2，3…．）．
情形二：若磁場(chǎng)消失時(shí)，液滴在x軸下方，如圖2所示：
ON₁=$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}cos30°}{tan30°}-{r}_{2}（1-sin30°）$=$2\sqrt{3}+1$m
ON₂=$\frac{3{r}_{1}+{r}_{2}cos30°}{tan30°}-{r}_{2}（1-sin30°）$=$6\sqrt{3}+1$ m
根據(jù)周期性可得，液滴穿過y軸時(shí)的坐標(biāo)y_n滿足：
y_n=$\frac{（2n-1）{r}_{1}+{r}_{2}cos30°}{tan30°}-{r}_{2}（1-sin30°）$
y_n=[$2\sqrt{3}（2n-1）+1$]m  （式中n=1，2，3…．）．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度是1.875N/C，液滴到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度v的大小是4m/s；
（2）液滴從P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次經(jīng)過x軸所需的時(shí)間是$（\frac{π}{2}+0.4）$s；
（3）若從某時(shí)刻起磁場(chǎng)突然消失，發(fā)現(xiàn)液滴恰好以與y軸正方向成30°角的方向穿過y軸后進(jìn)入x＞0的區(qū)域，液滴穿過y軸時(shí)的位置是[$2\sqrt{3}（2n-1）+1$]m （式中n=1，2，3…．）

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)是對(duì)磁場(chǎng)周期性的應(yīng)用，磁場(chǎng)的周期性一定就會(huì)由粒子運(yùn)動(dòng)周期性的變化，故只要得到一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以重復(fù)畫軌跡，直到得到想要的結(jié)果．本題由于粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡比較復(fù)雜，故考察的難度相對(duì)較大．