Question

4．“太空粒子探測(cè)器”主要使命之一是在太空中尋找“反物質(zhì)”和“暗物質(zhì)”，探索宇宙的起源的奧秘，是人類(lèi)在太空中進(jìn)行的最大規(guī)模的科學(xué)實(shí)驗(yàn)．探測(cè)器核心部件是由加速、偏轉(zhuǎn)和收集三部分組成，其原理可簡(jiǎn)化如下：如圖所示，輻射狀的加速電場(chǎng)區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面，圓心為O，外圓弧面AB的半徑為L(zhǎng)，電勢(shì)為φ₁，內(nèi)圓弧面CD的半徑為$\frac{L}{2}$，電勢(shì)為φ₂．足夠長(zhǎng)的收集板MN平行邊界ACDB，O到MN板的距離為L(zhǎng)．在邊界 ACDB和收集板MN之間加一個(gè)圓心為O，半徑為L(zhǎng)，方向垂直紙面向里的半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀．假設(shè)太空中漂浮著某種帶正電的反物質(zhì)粒子，它們能均勻地吸附到AB圓弧面上，并被加速電場(chǎng)從靜止開(kāi)始加速，不計(jì)粒子間的相互作用和其它星球?qū)αＷ右�力的影響�?br />（1）反物質(zhì)即質(zhì)量與正粒子相等，帶電量與正粒子相等但電性相反，如負(fù)電子為正電子的反物質(zhì)．若正電子和負(fù)電子相遇發(fā)生湮滅（質(zhì)量完全虧損），轉(zhuǎn)化成一對(duì)同頻率光子（γ）寫(xiě)出上述核反應(yīng)方程，并計(jì)算該光的波長(zhǎng)λ；（已知電子的質(zhì)量為m_e，普朗克常量為h）
（2）若發(fā)現(xiàn)從AB圓弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到MN板上（不考慮過(guò)邊界ACDB的粒子），求漂浮粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（3）隨著所加磁場(chǎng)大小的變化，試定量分析收集板MN上的收集粒子的效率η和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)質(zhì)量數(shù)及電荷數(shù)守恒得出對(duì)應(yīng)的反應(yīng)方程；由質(zhì)能方程求解波長(zhǎng)；
（2）由幾何關(guān)系得出對(duì)應(yīng)的半徑；再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求荷質(zhì)比；
（3）根據(jù)題意明確粒子打在板上的關(guān)徑，則可明確收集效率與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系．

解答 解：
（1）核反應(yīng)方程為    ${\;}_{1}^{0}$e+${\;}_{-1}^{0}$e→2γ①
根據(jù)愛(ài)因斯坦質(zhì)能方程△E=△mc²②
質(zhì)量虧損為△m=2m_e③
根據(jù)能量關(guān)系△E=2hν④
由波長(zhǎng)、波速和頻率的關(guān)系  $ν=\frac{c}{λ}$⑤
由①②③④⑤式解得 $λ=\frac{h}{{{m_e}c}}$⑥
（2）由幾何關(guān)系得  R=L⑦
粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律$qv{B_0}=m\frac{v^2}{R}$⑧
粒子進(jìn)入電場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理$（{φ_1}-{φ_2}）q=\frac{1}{2}m{v^2}$⑨
由⑦⑧⑨式解得   $\frac{q}{m}=\frac{{2（{φ_1}-{φ_2}）}}{{B_0^2{L^2}}}$⑩
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度增大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑減小，由幾何關(guān)系，知收集效率變小，
粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律$qvB=m\frac{v^2}{R}$
①當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁時(shí)，所有粒子剛好能打在收集板上，
由幾何關(guān)系得L=2R₁
解得B₁=2B₀
收集粒子的效率η=0
②當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂＜2B₀時(shí)，設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與AB邊界的夾角為2θ，半徑為R₂，由幾何關(guān)系得$\frac{L}{{2{R_2}}}=cosθ$
收集粒子的效率$η=\frac{2θ}{π}×100%$
解得$η=\frac{{2arccos\frac{B_2}{{2{B_0}}}}}{π}×100%$
η=0（B≥2B₀）
綜上得$η=\frac{{2arccos\frac{B}{{2{B_0}}}}}{π}×100%$（B＜2B₀）
答：（1）核反應(yīng)方程為${\;}_{1}^{0}$e+${\;}_{-1}^{0}$e→2γ；該光的波長(zhǎng)λ為$\frac{h}{{m}_{e}C}$；
（2）漂浮粒子的比荷為$\frac{q}{m}=\frac{{2（{φ_1}-{φ_2}）}}{{B_0^2{L^2}}}$；
（3）收集粒子的效率η和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為$η=\frac{{2arccos\frac{B}{{2{B_0}}}}}{π}×100%$（B＜2B₀）

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意在第3問(wèn)中分情況進(jìn)行計(jì)論，進(jìn)而全面掌握可能的情況，得出準(zhǔn)確的表達(dá)式．