Question

17．如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)．勻強(qiáng)磁場(chǎng)分為Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域．其邊界為MN、PQ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向如圖所示，Ⅰ區(qū)域高度為d，Ⅱ區(qū)域的高度足夠大．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的小球從磁場(chǎng)上方的O點(diǎn)由靜止開始下落，進(jìn)入電、磁復(fù)合場(chǎng)后，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小
（2）若帶電小球經(jīng)一定的時(shí)間后恰能回到O點(diǎn)，h應(yīng)滿足什么條件？
（3）求從O點(diǎn)出發(fā)到第一次會(huì)到O點(diǎn)用時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶電小球恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球所受重力與電場(chǎng)力相等，列式可求得電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）小球在混合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率不變，只有小球從進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離開磁場(chǎng)，然后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，才有可能回到出發(fā)點(diǎn)，由動(dòng)能定理、牛頓第二定律可以求出釋放點(diǎn)的高度．
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出自由下落的時(shí)間．根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求解在復(fù)合場(chǎng)中的時(shí)間．

解答 解：（1）帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力與重力平衡，得
  mg=qE，解得 E=$\frac{mg}{q}$．
（2）只有小球從進(jìn)入磁場(chǎng)的位置離開磁場(chǎng)，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，才能恰好回到O點(diǎn)，
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
又由洛倫茲力提供向心力，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系得：Rsin60°=d
解得：h=$\frac{2forrea7^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$
（3）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖所示，
帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πR}{v}$，h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，t₂=$\frac{7}{6}$T
從O點(diǎn)出發(fā)到第一次會(huì)到O點(diǎn)用時(shí)間 t=2t₁+t₂
解得 t=$\frac{7πm}{3qB}$+$\frac{8zbaasdr^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3{g}^{2}{m}^{2}}$
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{mg}{q}$．
（2）若帶電小球經(jīng)一定的時(shí)間后恰能回到O點(diǎn)，h應(yīng)滿足的條件是 h=$\frac{2mo5ejqt^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3g{m}^{2}}$．
（3）從O點(diǎn)出發(fā)到第一次會(huì)到O點(diǎn)用時(shí)間t得$\frac{7πm}{3qB}$+$\frac{8kieaw2w^{2}{q}^{2}{B}^{2}}{3{g}^{2}{m}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道難題，分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)過程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，熟練應(yīng)用動(dòng)能定律、牛頓第二定律、數(shù)學(xué)知識(shí)即可正確解題．