Question

20．如圖所示，MN是水平軌道，NP是傾角θ=45°的無限長斜軌道，長為L=0.8m的細線一端固定在O點，另一端系著質量為m_B=2kg小球B，當細線伸直時B球剛好與MN軌道接觸但沒有擠壓．開始時細線伸直，B球靜止在MN軌道上，在MN軌道上另一個質量為m_A=3kg小球A以速度v₀向右運動．（不計一切摩擦及空氣阻力，重力加速度g=10m/s²）
（1）若A、B球發(fā)生彈性碰撞后B能在豎直面內做圓周運動，求v₀的取值范圍；
（2）在滿足（1）的條件下，軌道NP上有多長的距離不會被A球擊中？

Answer 1

分析 （1）小球B在豎直平面內做圓周運動，有兩種情況：第一情況是小球B能通過最高點做完整的圓周運動，由最高點的臨界速度和機械能守恒求出碰后B球的速度，根據(jù)機械能守恒定律和動量守恒定律結合求出v₀的臨界值．
第二種情況是小球B上升的最大高度等于L，根據(jù)機械能守恒定律求碰后B球的速度，根據(jù)機械能守恒定律和動量守恒定律結合求出v₀的臨界值．從而得到v₀的取值范圍
（2）根據(jù)上題的結果得到小球A碰后的速度范圍，結合平拋運動的規(guī)律求解．

解答 解：（1）碰撞后，小球B在豎直平面內做圓周運動，有兩種情況：
第一情況，小球B能通過最高點做完整的圓周運動，設小球B通過最高點的速度為v_B，A、B碰后瞬間A、B兩球的速度分別為v₁和v₂．
在最高點，有 m_Bg≤m_B$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
B球從最低點到最高點的過程，由機械能守恒定律有 m_Bg•2L+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{2}^{2}$
A、B球發(fā)生彈性碰撞，取水平向右為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律分別得：
    m_Av₀=m_Av₁+m_Bv₂． 
   $\frac{1}{2}$m_Av₀²=$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²．
解得  v₁=$\frac{{m}_{A}-{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀，v₂=$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀．
聯(lián)立解得 v₀≥$\frac{5}{3}\sqrt{10}$m/s，v₁≥$\frac{1}{3}\sqrt{10}$m/s
第二種情況是小球B上升的最大高度等于L，根據(jù)機械能守恒定律得：
    m_BgL≥$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{2}^{2}$
結合v₂=$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀．解得 0＜v₀≤$\frac{20}{3}$m/s
并由v₁=$\frac{{m}_{A}-{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$v₀，得 0＜v₁≤0.8m/s
所以v₀的取值范圍為v₀≥$\frac{5}{3}\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\frac{20}{3}$m/s．
（2）設A球落在斜面NP上的位置到N點的距離為S．
由平拋運動的規(guī)律有 
    Ssin45°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
    Scos45°=v₁t
結合v₁≥$\frac{1}{3}\sqrt{10}$m/s和0＜v₁≤0.8m/s，解得  S≥$\frac{16}{125}\sqrt{2}$m或0＜S≤$\frac{32}{25}\sqrt{2}$m
所以軌道NP上不會被A球擊中的距離為 S′=$\frac{32}{25}\sqrt{2}$m-$\frac{16}{125}\sqrt{2}$m=$\frac{144}{125}\sqrt{2}$m
答：
（1）v₀的取值范圍為v₀≥$\frac{5}{3}\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\frac{20}{3}$m/s．
（2）軌道NP上不會被A球擊中的距離為$\frac{144}{125}\sqrt{2}$m．

點評 解決本題的關鍵是理清兩球的運動過程，把握隱含的臨界條件，要注意小球B可能做完整的圓周運動，也可能是不完整的圓周運動，不能漏解．