Question

11．如圖所示，A、B為兩個相同的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，固定在水平面上，兩圓弧半徑均為R=1.8m．軌道A右側(cè)與置于水平面上的長木板緊密相連，但不粘連，長木板質(zhì)量M=2kg，上表面與圓弧軌道末端相切，右端距離軌道B的左端x=0.6m．現(xiàn)將質(zhì)量為m=1kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道A最高點(diǎn)自由釋放，滑上長木板后，帶動長木板向右滑動，與圓弧軌道B的左端相碰并粘連在一起．已知小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.5，木板與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，g取10m/s²．求：
①小物塊通過圓弧軌道A的最低點(diǎn)時對軌道的壓力；
②若小物塊不從木板上滑下，木板能獲得的最大速度；
③若使小物塊能夠滑上圓弧軌道B，木板長度應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 ①對下落過程由機(jī)械能守恒定律可求得到達(dá)底部的速度，再由向心力公式可求得支持力； 再由牛頓第三定律可求得壓力；
②分析兩物體的運(yùn)動過程，知道物體不從木板上滑下最終二者達(dá)相同速度時速度達(dá)最大； 根據(jù)牛頓第二定律可求得加速度，再由運(yùn)動學(xué)公式可求得速度；
③明確物體和木板的運(yùn)動過程，分別求出物體和木板的距離，從而求出木板的最小值；再對達(dá)共同速度之后的過程分析，由動能定理可求得物體在木板上滑行的距離；則可求得對應(yīng)的最大值．

解答 解：（1）對下落過程由機(jī)械能守恒定律可知：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²；
代入數(shù)據(jù)解得：v=6m/s；
對A點(diǎn)由向心力公式可知：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F=30N；
由牛頓第三定律可知，支持力為30N．
（2）小物塊不從木板上滑下，則當(dāng)二者同速時，木板達(dá)到最大速度；
木塊做減速運(yùn)動，對木塊由牛頓第二定律可知：
μ₁mg=ma₁；
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=-5m/s²；
木板做勻加速直線運(yùn)動，對木板分析可知：μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=1m/s²；
當(dāng)二者速度相等時，木板達(dá)最大速度，則有：
v₀t+a₁t=a₂t
解得：t=1s；
此時木板的位移為：x=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}$×1×1=0.5m；
說明木板還沒有到達(dá)軌道B，故說明最大速度為：v=a₂t=1×1=1m/s；
（3）要使物塊能滑上B軌道，物體滑到B軌道上時的速度應(yīng)大于等于零；達(dá)到相對靜止時，物體的位移為：
x₁=v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²=6×1-$\frac{1}{2}×5×1$=3.5m；
而此時木板的位移為0.5m，則木板至少應(yīng)大于3.5-0.5=3m；
物體達(dá)相對靜止后繼續(xù)前進(jìn)，在前進(jìn)L=0.1m的過程中，由動能定理可知：
-μ₂（m+M）gL=$\frac{1}{2}$（m+M）v₂²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m/s；
相碰后物塊繼續(xù)前進(jìn)，要使能滑上B，物塊到達(dá)B時的速度應(yīng)大于零； 則有：
-μ₁mgL₁=0-$\frac{1}{2}$mv₂²
代入數(shù)據(jù)解得：L₁=0.8m；
則說明木板的最長值應(yīng)為：3+0.8=3.8m；
故要使物體能滑上B，木板的長度應(yīng)為：3m≤L＜3.8m．
答：①小物塊通過圓弧軌道A的最低點(diǎn)時對軌道的壓力為30N；
②若小物塊不從木板上滑下，木板能獲得的最大速度為1m．
③若使小物塊能夠滑上圓弧軌道B，木板長度應(yīng)滿足的條件為：3m≤L＜3.8m．

點(diǎn)評 本題考查動能定理、牛頓第二定律的應(yīng)用以及運(yùn)動學(xué)公式的應(yīng)用，要注意正確分析物理過程，同時分別對兩物體進(jìn)行分析，明確物理規(guī)律的應(yīng)用才能準(zhǔn)確求解，本題因過程復(fù)雜，屬于難題．