Question

13．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系的第一象限有方向垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)，y軸是它的左邊界，曲線OP是它的右邊界，OP的曲線方向?yàn)閥=$\frac{2}{h}$x²．在y軸上有一點(diǎn)Q（0，h），一電荷量為q（q＞0）、質(zhì)量為m的粒子從Q點(diǎn)以不同的速率沿x軸正方向射入磁場．不計粒子的重力．
（1）若已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，求粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間是多少？
（2）若從磁場的右邊界射出的粒子中，速率為v₀的粒子在磁場中運(yùn)動位移最短，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）若保持（2）情形下的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變，求能從磁場的右邊界射出的粒子速度的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中勻速圓周運(yùn)動半周從y軸射出時時間最長，結(jié)合周期公式即可求解；
（2）畫出粒子運(yùn)動軌跡，寫出位移表達(dá)式，因?yàn)樯涑龃艌龅狞c(diǎn)在$y=\frac{2}{h}{x}_{\;}^{2}$上，求出位移最短時的y值，然后根據(jù)半徑公式和幾何關(guān)系列式，聯(lián)立即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）當(dāng)軌跡和磁場右邊界相切時，粒子速度最小，由半徑公式及幾何關(guān)系即可求出最小速度；

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動半周從y軸射出時，運(yùn)動的時間最長
${t}_{max}^{\;}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}$
（2）設(shè)粒子從M（x，y）點(diǎn)射出磁場，則：$MQ=\sqrt{{x}_{\;}^{2}+（y-h）_{\;}^{2}}$①
又：$y=\frac{2}{h}{x}_{\;}^{2}$②
聯(lián)立①②解得：$MQ=\sqrt{{y}_{\;}^{2}-\frac{3}{2}hy+{h}_{\;}^{2}}$③
由③可知，當(dāng)$y=\frac{3}{4}h$時，MQ有最小值．
粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑：$r=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$④
${O}_{1}^{\;}N=y-（h-r）=r-\frac{h}{4}$⑤
${O}_{1}^{\;}{N}_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}={r}_{\;}^{2}$⑥

由②④⑤⑥得$B=\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{7qh}$⑦
（3）設(shè)軌跡圓與磁場右邊界相切于D（x，y）點(diǎn)，半徑為R，由幾何關(guān)系：

x=Rsinα⑧
h-R-y=Rcosα⑨
且y=$\frac{2}{h}$x²
 L_CD⊥D處的切線，則可得到Rcosα=$\frac{1}{4}$h，
聯(lián)立②⑦⑧⑨解得：$R=\frac{2\sqrt{2}-1}{4}h$=10 ⑩
由半徑公式：$v=\frac{qBR}{m}$⑪
聯(lián)立⑦⑩⑪解得：$v=\frac{2（2\sqrt{2}-1）}{7}{v}_{0}^{\;}$
答：（1）若已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間是$\frac{πm}{q{B}_{0}^{\;}}$
（2）若從磁場的右邊界射出的粒子中，速率為v₀的粒子在磁場中運(yùn)動位移最短，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{7qh}$；
（3）若保持（2）情形下的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不變，能從磁場的右邊界射出的粒子速度的最小值$\frac{2（2\sqrt{2}-1）}{7}{v}_{0}^{\;}$

點(diǎn)評 本題考查了粒子在磁場中的運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程，應(yīng)用牛頓第二定律可以解題，作出粒子運(yùn)動軌跡，根據(jù)幾何知識求出粒子的軌道半徑是正確解題的關(guān)鍵．