Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于坐標(biāo)平面向內(nèi)的有界圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫(huà)出）；在第二象限內(nèi)存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一粒子源固定在x軸上的A點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-L，0）．粒子源沿Y軸正方向釋放出速度大小為v的電子，電子恰好能通過(guò)y軸上的C點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2L），電子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后恰好垂直通過(guò)第一象限內(nèi)與x軸正方向成15°角的射線(xiàn)ON（已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用）．求：
（1）第二象限內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向的夾角
（3）在圖中畫(huà)出電子進(jìn)入第一象限后的軌道．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，x方向勻速，y方向勻加速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
（2）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根據(jù)幾何關(guān)系列式求解；也可以根據(jù)類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)速度偏轉(zhuǎn)角的正切是位移偏轉(zhuǎn)角正切的2倍直接求解；
（3）先根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解出軌跡的半徑，然后畫(huà)出軌跡圖，確定y軸上C點(diǎn)到D點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）從A到C的過(guò)程中，電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，有：
x方向：L=

1

2

at²=

1

2

?

eE

m

?t²                      
y方向：2L=vt     
聯(lián)立解得：E=

mv2

2eL

（2）設(shè)電子到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為v_c，方向與y軸正方向的夾角為θ．
由動(dòng)能定理，有

1

2

m

v

2 c

-

1

2

mv²=eEL
解得v_C=

2

v
故cosθ=

v

vc

=

2

2

得θ=45°
（3）畫(huà)軌跡如圖所示．
電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
r=

mvc

eB

=

2 mv

eB

電子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)120°后垂直于ON射出．
磁場(chǎng)最小半徑為：R_m=

PQ

2

=r?sin60°
得：Rm=

6 mv

2eB

答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

mv2

2eL

；
（2）電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向的夾角θ為45°；
（3）軌跡如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題中粒子先在電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要注意兩個(gè)軌跡的連接點(diǎn)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律以及幾何關(guān)系列式求解，其中畫(huà)出軌跡是關(guān)鍵．