Question

19．如圖，在豎直平面內(nèi)由$\frac{1}{4}$圓弧AB和$\frac{1}{2}$圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一小球在A點(diǎn)正上方與A相距$\frac{R}{4}$處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動．
（1）求小球在B、A兩點(diǎn)的速度之比；
（2）小球運(yùn)動到BC圓弧的中點(diǎn)時受到軌道的支持力（設(shè)小球質(zhì)量為m）；
（3）通過計算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動到C點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律分別求出小球經(jīng)過B點(diǎn)、A點(diǎn)的速度，再得到它們的比值．
（2）由機(jī)械能守恒定律求出小球運(yùn)動到BC圓弧的中點(diǎn)時速度，由向心力公式求支持力．
（3）假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度，與臨界速度比較，即可判斷小球能否到C點(diǎn)．

解答 解：（1）從開始到A的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
    $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mg$\frac{R}{4}$，得 v_A=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
從開始到B的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
    $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mg（$\frac{R}{4}$+R），得 v_B=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$
則得小球在B、A兩點(diǎn)的速度之比 v_B：v_A=$\sqrt{5}$：1．
（2）設(shè)小球運(yùn)動到BC圓弧的中點(diǎn)時速度為v，軌道對小球的支持力為N．
從開始到BC中點(diǎn)的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
    $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mg（$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{2}$）
在N點(diǎn)，由向心力公式得 N=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$
聯(lián)立解得 N=1.5mg
（3）假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得
  mg$\frac{R}{4}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
即得到達(dá)C點(diǎn)的速度 v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
設(shè)小球通過C點(diǎn)的臨界速度為v₀．則有
  mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{\frac{R}{2}}$
即得 v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
因?yàn)?v_C=v₀，所以小球恰好到達(dá)C點(diǎn)．
答：
（1）小球在B、A兩點(diǎn)的動能之比是5：1．
（2）小球運(yùn)動到BC圓弧的中點(diǎn)時受到軌道的支持力是1.5mg．
（3）小球恰好到達(dá)C點(diǎn)．

點(diǎn)評 分析清楚小球的運(yùn)動過程，把握圓周運(yùn)動最高點(diǎn)臨界速度的求法：重力等于向心力，同時要熟練運(yùn)用機(jī)械能守恒定律．