Question

11．如圖所示，一束截面為圓形半徑為R的平行單色光，垂直射向一玻璃半球的平面，經折射后在屏幕S上形成一個圓形亮區(qū)，已知玻璃半球的半徑為R，屏幕S到球心的距離為d=2$\sqrt{3}$ R，不考慮光的干涉和衍射，玻璃對該光的折射率為n=2，求
（1）屏幕逐漸靠近玻璃半球過程，屏幕上圓形亮區(qū)半徑如何變？
（2）開始時屏幕上被照亮區(qū)域的半徑？

Answer 1

分析 作出光線在圓面上發(fā)生全反射的光路圖，結合折射定律和幾何關系求出屏幕上被照亮區(qū)域的半徑．

解答 解：設光恰好發(fā)生全反射時的臨界光線照射到幕S上的E點，E點到亮區(qū)中心O′點的距離r就是所求最大半徑，如圖所示．
設臨界角為θ，有sinθ=$\frac{1}{n}$


又OF=$\frac{R}{cosθ}$，
O′E=（d-OF）cotθ
解得：r=O′E=$d\sqrt{{n}^{2}-1}-nR$=4R．
由上式和光路圖可知，當屏幕到圓心的距離減小時，光斑的半徑將先減��；直到減小為一個點，然后又會逐漸增大．
答：（1）屏幕逐漸靠近玻璃半球過程，屏幕上圓形亮區(qū)半徑先減少后增大；
（2）開始時屏幕上被照亮區(qū)域的半徑為4R．

點評 本題考查了光的折射定律和全反射知識，對數學幾何能力的要求較高，需加強這方面的訓練．