Question

6．如圖所示，豎直邊界把空間分成I、II、III區(qū)域．絕緣軌道ABC處在I區(qū)域中，AB與水平面夾角為53°，BC部分水平，B處用平滑圓弧連接，軌道末端C點恰在I、II區(qū)交界上．軌道的高和水平總長度均為h=40m，小球與軌道間的動摩擦因數均為μ=0.5．現先后將①②兩個小球由A點靜止釋放，其中①不帶電，②球帶正電．若在I區(qū)加水平向右的勻強電場，II、III區(qū)加豎直向上的電場，②球在三個區(qū)域內所受的電場力大小均等于其重力．III區(qū)加入垂直紙面向外的勻強磁場，則（g=10m/s²）
（1）①②球離開I區(qū)時的速度大小分別是多少？
（2）若調節(jié)②球釋放的時間，使兩球同時進入II區(qū)（此時不相碰）．兩球恰好在II、III區(qū)的交界上某點M相遇．求II區(qū)的水平距離L（π=3，$\sqrt{2}$=1.414）．

Answer 1

分析 （1）對①球，根據動能定理求出離開I區(qū)時的速度大�。粚Β谇�，受力分析，注意合力不沿斜面方向，結合牛頓第二定律和運動學公式求出②球離開I區(qū)時的速度大小．
（2）①球在II區(qū)做平拋運動，②球在II區(qū)做斜向右下方45°的勻速直線運動，在III區(qū)域做勻速圓周運動，運用運動學公式、結合幾何關系和圓周運動的知識求出II區(qū)的水平距離L．

解答 解：（1）對①球，從A到C由動能定理得：
$mgh-μmgh=\frac{1}{2}mv_1^2$，
代入數據解得：v₁=20m/s．
②球受力分析可知，受重力和電場力，其合力斜向右．方向與水平方向成45°，大小$F=\sqrt{2}mg$，則$a=\sqrt{2}g$，
經歷的位移為：x=$\sqrt{2}h$，
由$v_2^2=2ax$
代入數據解得：v₂=40m/s．
（2）分析受力可知①球在II區(qū)做平拋運動，②球在II區(qū)做斜向右下方45°的勻速直線運動，在III區(qū)域做勻速圓周運動．
1、假設②球沒有進入III區(qū)兩球相遇，則$t=\frac{L}{v_1}=\frac{{\sqrt{2}L}}{v_2}$，L無解．
  2、假設②球進入III區(qū)后兩球相遇，則
對①球：$H=\frac{1}{2}g{t^2}$，L=v₁t
對②球：II區(qū)時間${t_1}=\frac{{\sqrt{2}L}}{v_2}$
III區(qū)時間${t_2}=\frac{{\frac{πR}{2}}}{v_2}$，
其中由 幾何關系可得$H=L+\sqrt{2}R$
聯立以上各式，將$π=3，\sqrt{2}=1.414$，
代入數據解得L=124.16m．
答：（1）①②球離開I區(qū)時的速度大小分別是20m/s、40m/s．
（2）II區(qū)的水平距離為124.16m．

點評 本題考查了帶電小球在復合場中的運動，關鍵理清兩個小球在整個過程中的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律、動能定理、運動學公式綜合求解．