Question

8．如圖甲所示，固定軌道由傾角為θ的斜導軌與水平導軌用極短的圓弧導軌平滑連接而成，軌道所在空間存在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場，兩導軌間距為L，上端用阻值為R的電阻連接．在沿斜導軌向下的拉力（圖中未畫出）作用下，一質量為m的金屬桿MN從斜導軌上某一高度處由靜止開始（t=0）沿斜導軌勻加速下滑，當桿MN滑至斜軌道的最低端P₂Q₂處時撤去拉力，桿MN在水平導軌上減速運動直至停止，其速率v隨時間t的變化關系如圖乙所示（其中v_m和t₀為已知）．桿MN始終垂直于導軌并與導軌保持良好接觸，導軌和桿MN的電阻以及一切摩擦均不計．求：
（1）桿MN中通過的最大感應電流I_m；
（2）桿MN沿斜導軌下滑的過程中，通過電阻R的電荷量q；
（3）撤去拉力后，桿MN在水平導軌上運動的路程s．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E=BLv和閉合電路的歐姆定律求解感應電流的最大值；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應定律和閉合電路的歐姆定律結合電荷量的計算公式求解桿MN沿斜導軌下滑的過程中，通過電阻R的電荷量；
（3）根據(jù)平均加速度和安培力的關系計算撤去拉力后，桿MN在水平導軌上運動的路程s．

解答 解：（1）經(jīng)分析可知，桿MN下滑到P₂Q₂處時的速度最大（設為v_m），此時回路中產(chǎn)生的感應電動勢最大，且最大值為：E_m=BLv_m，
此時回路中通過的感應電流最大，有：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R}$，
解得：I_m=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$；
（2）桿MN沿斜導軌下滑的距離為：x=$\frac{{v}_{m}}{2}{t}_{0}$；
在桿MN沿斜導軌下滑的過程中，穿過回路的磁通量的變化為：△Ф=BLxcos θ，
該過程，回路中產(chǎn)生的平均感應電動勢為：$\overline{E}=\frac{△Φ}{{t}_{0}-0}$，
回路中通過的平均感應電流為：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$；
又：q=$\overline{I}{t}_{0}$，
解得：q=$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{2R}$；
（3）撤去拉力后，桿MN在水平導軌上做減速運動，設某時刻其速度大小為v，
則此時回路中通過的感應電流為：I=$\frac{BLv}{R}$，
設此時桿MN的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：BIL=ma，
設在趨近于零的時間△t內(nèi)，桿MN的速度變化的大小為△v，有：a=$\frac{△v}{△t}$，
由以上三式可得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}•v△t=m△v$，
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}•s=m（{v}_{m}-0）$，
解得：s=$\frac{mR{v}_{m}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）桿MN中通過的最大感應電流為$\frac{BL{v}_{m}}{R}$；
（2）桿MN沿斜導軌下滑的過程中，通過電阻R的電荷量為$\frac{BL{v}_{m}{t}_{0}cosθ}{2R}$；
（3）撤去拉力后，桿MN在水平導軌上運動的路程為$\frac{mR{v}_{m}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下物體的平衡問題；另一條是能量，分析電磁感應現(xiàn)象中的能量如何轉化是關鍵．