Question

4．如圖所示，A、B為地球的兩個(gè)軌道共面的人造衛(wèi)星，運(yùn)行方向相同，A、B衛(wèi)星的軌道半徑分別為r_a和_b，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星距離到達(dá)最近，已知衛(wèi)星A的運(yùn)行周期為T，從該時(shí)刻起到A、B間距離最遠(yuǎn)所經(jīng)歷的最短時(shí)間為（　　）

• A． $\frac{T}{2（\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_}）^{3}}+1）}$
• B． $\frac{T}{\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_}）^{3}}-1}$
• C． $\frac{T}{2（\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_}）^{3}}-1）}$
• D． $\frac{T}{\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_}）^{3}}+1}$

Answer 1

分析 兩顆人造地球衛(wèi)星A和B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用萬有引力提供向心力列出等式比較求得衛(wèi)星B的運(yùn)行周期．
衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星B轉(zhuǎn)過的角度與衛(wèi)星A轉(zhuǎn)過的角度之差等于π時(shí)，衛(wèi)星再一次相距最遠(yuǎn)．

解答 解：兩顆人造地球衛(wèi)星A和B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用萬有引力提供向心力列出等式：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
已知衛(wèi)星A的運(yùn)行周期為T，A、B衛(wèi)星的軌道半徑分別為r_a和_b，
所以衛(wèi)星B的運(yùn)行周期為T′=$\sqrt{{（\frac{{r}_}{{r}_{a}}）}^{3}}$T
它們?cè)僖淮蜗嗑嘧钸h(yuǎn)時(shí)，一定是B比A多轉(zhuǎn)了半圈，有：
$\frac{t}{T′}$-$\frac{t}{T}$=$\frac{1}{2}$
解得：t=$\frac{T}{2[\sqrt{{（\frac{{r}_{a}}{{r}_}）}^{3}}-1]}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題既可應(yīng)用萬有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時(shí)相距最遠(yuǎn)的求解，用到的數(shù)學(xué)變換相對(duì)較多，增加了本題難度．