Question

6．有一光滑圓管ACB被彎成半徑為R圓弧形形狀，O為圓弧圓心，現(xiàn)將該圓弧豎直放置且AOC邊豎直，圓弧右邊與圓心等高處有一個光滑平臺，平臺上可視為質(zhì)點的小球與滑塊之間有一個被壓縮的彈簧，小球與滑塊的質(zhì)量分別為m、M，彈簧解除鎖定后將小球和滑塊彈開，小球離開平臺后從B點進入曲管，且能無碰撞飛入管道，重力加速度為g，求：
（1）平臺左端P到管口B點的水平距離x；
（2）小球在運動到最低點C時對軌道壓力；
（3）彈簧開始時儲存的彈性勢能為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從P到B做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律求P到管口B點的水平距離x．
（2）小球從P到C過程中，只有重力做功，機械能守恒，據(jù)此列式求出小球達到C點時的速度，再由牛頓運動定律求解小球在運動到最低點C時對軌道壓力．
（3）彈簧解鎖的過程，系統(tǒng)的動量守恒，機械能也守恒，據(jù)兩大守恒定律列式求解．

解答 解：（1）小球從P到B做平拋運動，則：
水平方向有：x=v₀t，v_x=v₀；
豎直方向有：Rcos45°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，v_y=gt；
小球能無碰撞飛入管道，說明到達B點時速度沿B點的切線方向，則有
  tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
解得：v₀=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，x=$\sqrt{2}$R
（2）小球從P到C過程中，只有重力做功，機械能守恒，則
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C點，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=（3+$\sqrt{2}$）mg
由牛頓第三定律可得，小球?qū)�軌道的壓�?N′=N=（3+$\sqrt{2}$）mg
（3）彈簧解鎖的過程中系統(tǒng)的動量守恒，取向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律得
  mv₀-Mv=0
由系統(tǒng)的機械能守恒得：
彈簧開始時儲存的彈性勢能 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得 E_p=$\frac{\sqrt{2}（M+m）mgR}{2M}$
答：
（1）平臺左端P到管口B點的水平距離x是$\sqrt{2}$R；
（2）小球在運動到最低點C時對軌道壓力是（3+$\sqrt{2}$）mg；
（3）彈簧開始時儲存的彈性勢能為$\frac{\sqrt{2}（M+m）mgR}{2M}$．

點評 本題是力學(xué)綜合題，掌握平拋運動的研究方法：運動的分解法，知道彈簧解鎖過程遵守兩大守恒定律：動量守恒守恒和機械能守恒定律是解題的關(guān)鍵．