Question

11．如圖所示，AB是一個半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧（B點切線水平且距地面高也為R），在AB的圓弧軌道．上放一個半徑也為R的帶鉤的小圓弧片CD，再在CD的D端放一個質量為m的小物塊（可視為質點），已知小物塊與CD弧片間動摩擦因數(shù)為μ=$\sqrt{3}$．現(xiàn)沿圓弧AB緩緩向上拉動CD弧片，直到小物塊開始滑離CD弧片為止（計算時，可以認為最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大�。�．則：
（1）此過程中，CD弧片對小物塊的靜摩擦力對其所做的功為多少？
（2）若小物塊滑離CD沿AB軌道下滑又從B端滑出，并做平拋運動，而后落到離E點水平距離也為R的水平地面上，則AB弧對小物塊的滑動摩擦力對其所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）分析清楚物體運動過程，應用能量守恒定律求出功．
（2）物塊離開軌道后做平拋運動，應用平拋運動規(guī)律與動能定理即可正確解題．

解答 解：（1）拉著CD弧片沿圓弧軌道AB緩緩向上運動過程中，對小物塊進行受力分析，共受到重力mg、支持力F_N和靜摩擦力F₀三個力的作用，設物塊與O點的連線與豎直方向的夾角為θ，
那么，有：F_N=mgcosθ，當θ從零開始逐漸增大的過程中，F(xiàn)_N逐漸減小，CD弧片能夠給小物塊的最大靜摩擦力F₀=μFN=mgcosθ越來越小，
而引起小物塊沿CD弧片下滑趨勢的重力的沿圓弧軌道的切線方向的分力mgsinθ卻在逐漸增大，
當F₀=mgsinθ時，物塊即將離開弧片CD而下滑，設此時θ=θ₀，則tanθ₀=μ=$\sqrt{3}$，θ₀=60°，
故此過程中物塊沿圓弧AB上升的高度為：h=R（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$R，
由功能關系得靜摩擦力所做的功為：W₁=mgh=$\frac{1}{2}$mgR；
（2）設物塊離開AB做平拋運動的初速度為v₀，
由平拋運動規(guī)律得：
R=v₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
設物塊沿AB弧下滑過程中，滑動摩擦力所做的功為W₂，則根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}$mgR+W₂=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：W₂=-$\frac{1}{4}$mgR；
答：（1）此過程中，CD弧片對小物塊的靜摩擦力對其所做的功為$\frac{1}{2}$mgR．
（2）AB弧對小物塊的滑動摩擦力對其所做的功為-$\frac{1}{4}$mgR．

點評 本題考查了求功，分析清楚物體運動過程，應用平拋運動規(guī)律、動能定理即可正確解題．