Question

16．在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此距離較近，且相互繞行的行星稱為雙星．已知兩行星質(zhì)量分別為M₁和M₂，它們之間距離為L，求各自運(yùn)轉(zhuǎn)半徑和角速度為多少？

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進(jìn)一步計(jì)算軌道半徑大小；據(jù)萬有引力提供向心力計(jì)算出角速度．

解答 解：雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相等，萬有引力提供雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律得：
對(duì)星球M₁：G$\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}$=M₁ω²R₁，對(duì)M₂：G$\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}$=M₂ω²R₂，
兩式相除得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}}$，即軌道半徑與質(zhì)量成反比，
已知：R₁+R₂=L，解得：R₁=$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}$L，R₂=$\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}$L，
雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度：ω=$\sqrt{\frac{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}{{L}^{3}}}$；
答：各自運(yùn)轉(zhuǎn)半徑和角速度分別為$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}$L、$\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}$L、$\sqrt{\frac{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．