Question

16．如圖所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為d=1.0m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為α=30°，導(dǎo)軌上端跨接一定值電阻R=16Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處于與導(dǎo)軌平面垂直且向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1.0T．一根與導(dǎo)軌等寬的金屬棒礦垂直MN、PQ靜止放置，且與導(dǎo)軌保持良好接觸．金屬棒質(zhì)量m=0.1kg、電阻r=0.4Ω，距導(dǎo)軌底端S₁=3.75m．另一根與金屬棒ef平行放置的絕緣棒gh長(zhǎng)度也為d，質(zhì)量為$\frac{m}{2}$，從導(dǎo)軌最低點(diǎn)以速度v₀=10m/s沿軌道上滑并與金屬棒發(fā)生正碰（碰撞時(shí)間極短），碰后金屬棒沿導(dǎo)軌上滑S₂=0.2m后再次靜止，此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q=0.2J．已知兩棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為$μ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，g取10m/s²，求：
（1）絕緣棒與金屬棒碰撞前瞬間絕緣棒的速率；
（2）兩棒碰后，安培力對(duì)金屬棒做的功以及碰后瞬間金屬棒的加速度；
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由題意，絕緣棒與金屬棒碰撞后沿導(dǎo)軌上滑S₂=0.2m后再次靜止，根據(jù)動(dòng)能定理列式，得到金屬棒碰后的速度與克服安培力做功的關(guān)系．已知此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q=0.2J．回路中總電熱$\frac{R+r}{R}$，根據(jù)功能關(guān)系求得安培力做的功，聯(lián)立即可求得金屬棒碰后的速度．根據(jù)動(dòng)能定理求出絕緣棒與金屬棒碰前的速度，即可根據(jù)動(dòng)量守恒求解碰后瞬間絕緣棒的速度．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式，求出碰后碰后瞬間的金屬棒所受的安培力，再根據(jù)牛頓第二定律求得加速度．
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量定理、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律和電量公式，聯(lián)立即可求得時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)絕緣體與金屬棒碰前的速率為v₁，絕緣棒在導(dǎo)軌由最低點(diǎn)向上滑動(dòng)的過(guò)程中，
由動(dòng)能定理得：$-μ\frac{m}{2}g{S_1}cosα-\frac{m}{2}g{S_1}sinα=\frac{1}{2}•\frac{m}{2}v_1^2-\frac{1}{2}•\frac{m}{2}v_0^2$，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=5m/s；
（2）設(shè)碰后安培力對(duì)金屬棒做功為W_安，由功能關(guān)系，
安培力做的功W_安等于回路中產(chǎn)生的總電熱為：${W_安}=\frac{R+r}{R}Q$，
解得：W_安=0.205J；
設(shè)金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，回路中感應(yīng)電流為I，
安培力為：F_安=BId，
電流為：$I=\frac{E}{R+r}$，
安培力：F_安=BId，
設(shè)兩棒碰后瞬時(shí)金屬棒的加速度為a，由牛頓第二定律得：μmgcosα+mgsinα+F_安=mα，
代入數(shù)據(jù)解得：a=25m/s²；
（3）設(shè)金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，安培力的沖時(shí)為I_安，
沿導(dǎo)軌方向，由動(dòng)量定理得：-I_安-μmgtcosa-mgtsina=0-mv，
解得：I_安=BId•△t，
由閉合電路歐姆定律得：$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$，
由法拉第電磁感應(yīng)定律得：$\overline E=\frac{△φ}{△T}=\frac{{Bd{S_2}}}{△t}$，
解得：t=0.2s；
答：（1）絕緣棒幽與金屬棒礦碰前瞬間絕緣棒的速率為5m/s；
（2）兩棒碰后，安培力對(duì)金屬棒做的功為0.205J，碰后瞬間金屬棒的加速度為25m/s²；
（3）金屬棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.2s．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，綜合運(yùn)用電磁學(xué)知識(shí)、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解．