Question

7．如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)和電場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向、沿y軸正方向電場(chǎng)強(qiáng)度為正）．在t=0時(shí)刻由原點(diǎn)O發(fā)射初速度大小為υ₀，方向沿y軸正方向的帶負(fù)電粒子．已知u₀、t₀、B₀，粒子的比荷為$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，不計(jì)粒子的重力．

（1）t=t₀時(shí)，求粒子的位置坐標(biāo)；
（2）若t=5t₀時(shí)粒子回到原點(diǎn)，求0～5t₀時(shí)間內(nèi)粒子距x軸的最大距離；
（3）若粒子能夠回到原點(diǎn)，求滿足條件的所有E₀值．如圖所示，在xoy平面內(nèi)存在均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)和電場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向，沿y軸正方向電場(chǎng)強(qiáng)度為正）

Answer 1

分析 根據(jù)洛倫茲力提供向心力和周期公式求粒子的坐標(biāo)；
畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，據(jù)此求粒子的最大距離；
結(jié)合做周期性運(yùn)動(dòng)的軌跡，要使粒子經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則必須滿足：n（2r₂-2r₁）=2r₁（n=1，2，3，…）．

解答 解：（1）由粒子的比荷得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：
T=$\frac{2πm}{qB}$=2t₀ 
則在0-t₀內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角α=π
由牛頓第二定律有：qv₀B₀=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$
得：r₁=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
位置坐標(biāo)為：（$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，0）
（2）粒子t=5t₀時(shí)回到原點(diǎn)，軌跡如圖1所示r₂=2r₁
r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
r₂=$\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}$
得：v₂=2v₀
又$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$
r₂=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
粒子在t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，2t₀-3t₀時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在5t₀時(shí)間內(nèi)粒子距x軸的最大距離：h_m=$\frac{{v}_{0}+2{v}_{0}}{2}$t₀+r₂=（$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{π}$）v₀t₀
（3）如圖2所示，設(shè)帶電粒子在x軸上方做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r₁，在x軸下方做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r₂，由幾何關(guān)系可知，要使粒子經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則必須滿足：
n（2r₂-2r₁）=2r₁（n=1，2，3，…）
r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$
r₂′=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
聯(lián)立以上解得：V=$\frac{n+1}{n}$v₀
又由于：v=v₀+$\frac{q{E}_{0}{t}_{0}}{m}$
得：E₀=$\frac{{v}_{0}{B}_{0}}{nπ}$（n=1，2，3，…）
答：（1）t=t₀時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)為（$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，0）；
（2）若t=5t₀時(shí)粒子回到原點(diǎn)，0～5t₀時(shí)間內(nèi)粒子距x軸的最大距離為（$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{π}$）v₀t₀；
（3）若粒子能夠回到原點(diǎn)，滿足條件的所有E值為E₀=$\frac{{v}_{0}{B}_{0}}{nπ}$（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)等共存的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問(wèn)題．