Question

17．如圖所示，xOy坐標(biāo)系內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．x＜0區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場（圖中未畫出），y軸為電場右邊界．磁場中放置一半徑為R的圓柱形圓筒，圓心O₁的坐標(biāo)為（4R，0），圓筒軸線與磁場平行，現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以速度v₀從很遠(yuǎn)處垂直于y軸沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)射入，在x＜0區(qū)域內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不考慮打到圓筒表面的電子對射入磁場的電子的影響．
（1）求x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小和方向；
（2）若圓筒外表面各處都沒有電子打到，則電子初速度應(yīng)滿足什么條件；
（3）若電子初速度v₀=$\frac{4eBR}{m}$，求從y軸上哪些范圍射入磁場的電子能打到圓筒上；并通過作圖標(biāo)注圓筒上有電子達(dá)到的區(qū)域．

Answer 1

分析 （1）電子子y軸左側(cè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明電場力好洛倫茲力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）電子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡為半圓，臨界情況是軌跡與圓筒相切；
（3）找出兩個(gè)臨界軌跡，即射入的電子剛好擦過圓筒，軌跡與圓筒上側(cè)相切，以及與圓筒下側(cè)相切，作出臨界圖，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意可得在x＜0區(qū)域內(nèi)，平行電子束做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有：
Ee=ev₀B
解得：E=v₀B，方向沿y軸負(fù)方向；
（2）如圖所示，設(shè)電子進(jìn)入磁場回旋軌道半徑為r，

則 ev₀B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
若沒有電子打到圓筒表面，則r＜3R 可解得v₀＜$\frac{3qBR}{m}$．
（3）若電子初速度v₀=$\frac{4eBR}{m}$，則在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r′=4R，粒子軌跡的臨界圖如圖所示．
AC間入射的粒子能打到圓筒上，紅色標(biāo)記為圓筒上有電子達(dá)到的區(qū)域．根據(jù)幾何關(guān)系有：
AO=$4R+\sqrt{（5R）^{2}-（4R）^{2}}=7R$，
CO=$4R-\sqrt{（5R）^{2}-（4R）^{2}}$=R．
可知從y軸上[R，7R]范圍射入磁場的電子能打到圓筒上．
答：（1）x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為v₀B，方向沿y軸負(fù)方向；
（2）電子初速度應(yīng)滿足v₀＜$\frac{3qBR}{m}$．
（3）從y軸上[R，7R]范圍射入磁場的電子能打到圓筒上．圓筒上有電子達(dá)到的區(qū)域如圖中紅色標(biāo)記所示．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出臨界軌跡是關(guān)鍵，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式分析，較難．