Question

1．如圖所示，A、B是水平傳送帶的兩個(gè)端點(diǎn)，起初以v₀=1m/s的速度順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)．今將一質(zhì)量為1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）無初速度地輕放在A處，同時(shí)傳送帶以a₀=1m/s²的加速度加速運(yùn)轉(zhuǎn)，物體和傳送帶間的動(dòng)摩擦因素為0.2，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道CPN，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135⁰的圓弧，PN為其豎直直徑，C點(diǎn)與B點(diǎn)的豎直距離為R，物體在B點(diǎn)水平離開傳送帶后由C點(diǎn)恰好無碰撞落入軌道．取g=10m/s²，求：
（1）物塊由A端運(yùn)動(dòng)到B端所經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）AC間的水平距離
（3）小物塊在P點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)物塊的傳送帶的相對(duì)運(yùn)動(dòng)得到物塊的摩擦力，進(jìn)而求得加速度，然后由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律根據(jù)位移求得在AB上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即AB的距離；
（2）然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律由豎直高度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得BC的水平位移，那么AC的水平距離即可求解；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒求得在P點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）物體從B點(diǎn)到C作平拋運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)與B點(diǎn)的豎直距離為R，故有${v}_{Cy}=\sqrt{2gR}=4m/s$；
物體離開傳送帶后由C點(diǎn)無碰撞落入軌道，則在C點(diǎn)物體的速度方向?yàn)镃點(diǎn)的切線方向，與豎直方向成45°，故有v_B=v_Cx=4m/s；
物體速度小于傳送帶速度時(shí)，物體做加速度$a=\frac{μmg}{m}=2m/{s}^{2}$，
故物體從A到B做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)t₁后物體和傳送帶速度相同，之后兩者一起做勻加速運(yùn)動(dòng)，那么t₁=1s，物體的速度達(dá)到v=2m/s，之后加速度變?yōu)?m/s²，故物體之后運(yùn)動(dòng)t₂=2s后速度達(dá)到4m/s，此時(shí)，物體正好到達(dá)B點(diǎn)，故物塊由A端運(yùn)動(dòng)到B端所經(jīng)歷的時(shí)間t=t₁+t₂=3s；
（2）由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知AB的長度${L}_{AB}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}+v{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{0}{{t}_{2}}^{2}=7m$；
物體做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t′=\frac{{v}_{Cy}}{g}=0.4s$，那么，BC的水平距離x=v_Bt′=1.6m；
所以，AC間的水平距離L_AC=L_AB+x=8.6m；
（3）物塊在C點(diǎn)的速度${v}_{C}=\frac{{v}_{Cy}}{sin45°}=4\sqrt{2}m/s$；
物塊從C到P只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+mgR（1-cos45°）$，所以，${v}_{P}=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}+2gR（1-cos45°）}=\sqrt{48-8\sqrt{2}}m/s$；
對(duì)物塊在P點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：軌道對(duì)小球的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{P}}^{2}}{R}=70-10\sqrt{2}（N）$，方向豎直向上；
那么，由牛頓第三定律可得：小物塊在P點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為$70-10\sqrt{2}（N）$，方向豎直向下；
答：（1）物塊由A端運(yùn)動(dòng)到B端所經(jīng)歷的時(shí)間為3s；
（2）AC間的水平距離為8.6m；
（3）小物塊在P點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為$70-10\sqrt{2}（N）$，方向豎直向下．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．