Question

6．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{π}{10}$T的勻強(qiáng)磁場，第三象限內(nèi)有方向沿y軸負(fù)方向、電場強(qiáng)度E=20V/m的勻強(qiáng)電場．現(xiàn)將大量質(zhì)量相等、帶電量不同的粒子，從y軸上PQ之間各處沿x軸正方向于某一瞬間全部射入磁場．已知粒子的質(zhì)量m=10^-10 kg，初速度v₀=1.6×10³m/s，帶電量q的范圍為2.5×10^-6C至1×10^-5C，所有粒子都能從坐標(biāo)原點(diǎn)O處進(jìn)入第三象限．足夠大的熒光屏MN位于直線y=-0.64m處，粒子打到熒光屏的瞬間，熒光屏上被粒子擊中的位置會發(fā)光．不計(jì)粒子重力，計(jì)算時(shí)可取$\frac{16}{π}$=5，求：
（1）PQ兩點(diǎn)之間的距離；
（2）熒光屏發(fā)光的持續(xù)時(shí)間；
（3）已知帶電量q=1×10^-5C的粒子能夠打中熒光屏的A點(diǎn)．若將熒光屏繞A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過一定角度θ（如圖中虛線所示），且θ滿足0＜θ＜135°．試問是否存在一個(gè)角度θ使得從PQ之間同時(shí)釋放的所有粒子能夠在同一時(shí)刻到達(dá)熒光屏．若存在，請求出θ的值；若不存在，請說明原因．

Answer 1

分析 （1）利用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出PQ兩點(diǎn)之間的距離；
（2）求出粒子運(yùn)動到光屏?xí)r間的最大值和最小值，兩個(gè)時(shí)間的差值即為熒光屏發(fā)光的持續(xù)時(shí)間；
（3）推導(dǎo)到達(dá)熒光屏?xí)r粒子的x-y關(guān)系式，觀察是否有使表達(dá)式為線性的θ值．

解答 解：（1）粒子在第一象限做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$
可得：$r=\frac{{m{v_0}}}{qB}$
帶電量${q_1}=2.5×{10^{-6}}C$的粒子半徑最大，${r_1}=\frac{{m{v_0}}}{{{q_1}B}}=0.2m$
帶電量${q_2}=1×{10^{-5}}C$的粒子半徑最小，${r_2}=\frac{{m{v_0}}}{{{q_2}B}}=0.05m$
所以PQ兩點(diǎn)之間的距離d=2（r₁-r₂）=0.3m
（2）粒子在磁場中的運(yùn)動周期：$T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場中均運(yùn)動了半個(gè)周期，所用時(shí)間：$t=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$
粒子在電場中，根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq=ma
根據(jù)類平拋規(guī)律：$|y|=\frac{1}{2}a{t'^2}$，可得：$t'=\sqrt{\frac{2|y|m}{qE}}$
粒子從出發(fā)到打到熒光屏所用的總時(shí)間：t_總=t+t'
根據(jù)$T=\frac{2πm}{qB}$可知，粒子帶電量q越大，t越小，t'固定，所以總時(shí)間t_總越�。� 
故帶電量${q_1}=2.5×{10^{-6}}C$的粒子所用時(shí)間最長，
其中：${t_1}=\frac{πm}{{{q_1}B}}=4×{10^{-4}}s$，${t'_1}=\sqrt{\frac{2|y|m}{{{q_1}E}}}=1.6×{10^{-3}}s$
總時(shí)間：${t_{總1}}={t_1}+{t'_1}=2×{10^{-3}}s$
故帶電量：${q_2}=1×{10^{-5}}C$的粒子所用時(shí)間最短，
其中：${t_2}=\frac{πm}{{{q_2}B}}=1×{10^{-4}}s$，${t'_2}=\sqrt{\frac{2|y|m}{{{q_2}E}}}=8×{10^{-4}}s$
總時(shí)間：${t_{總2}}={t_1}+{t'_1}=9×{10^{-4}}s$
故熒光屏發(fā)光的持續(xù)時(shí)間$△t={t_{總1}}-{t_{總2}}=1.1×{10^{-3}}s$
（3）t時(shí)刻對已經(jīng)進(jìn)入電場的粒子：$x=-{v_0}（t-\frac{πm}{qB}）$，$y=-\frac{qE}{2m}{（t-\frac{πm}{qB}）^2}$
聯(lián)立上述兩個(gè)方程，消去q得：$y=-\frac{{πE{x^2}}}{{2Bv_0^2（t+\frac{x}{v_0}）}}$
顯然t取任意值，上式都不可能是一個(gè)直線方程，故不存在滿足題目要求的θ．
答：（1）PQ兩點(diǎn)之間的距離為0.3m；
（2）熒光屏發(fā)光的持續(xù)時(shí)間1.1×10^-3s；
（3）不存在角度θ，原因見解析．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，解題關(guān)鍵是要明確粒子運(yùn)動過程，根據(jù)其運(yùn)動形式選擇合適的規(guī)律解決，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，在電場力作用下做類平拋運(yùn)動．