Question

如圖，在半徑為r的軸上懸掛一個(gè)質(zhì)量為M的水桶p，軸上分布著6根手柄，柄端有6個(gè)質(zhì)量為m的金屬小球．球離軸心的距離為l，輪軸、繩及手柄的質(zhì)量以及摩擦均不計(jì)．開始時(shí)水桶p在離地面某高度處，釋放后水桶p帶動(dòng)整個(gè)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)n周后，水桶恰好到達(dá)地面并停在地面不跳起，而繩繼續(xù)釋放．當(dāng)繩釋放完后，由于慣性，繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)著的輪軸再次把繩繞在筒上，從而又把重物從地面提升起來．
求：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)n周后水桶p的速率v；
    （2）重物提升起的最大高度h．

Answer 1

分析：（1）整個(gè)系統(tǒng)釋放的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動(dòng)能，根據(jù)能量守恒列式即可求解水桶p的速率v．列方程時(shí)，還要抓住水桶與小球速度的關(guān)系．
（2）水桶p著地后，由于慣性，輪軸繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，先把繩子放松，以后再次把繩繞在筒上，從而又把重物從地面提升起來．在這過程中，6個(gè)小球的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為水桶p的重力勢(shì)能．再根據(jù)能量守恒列式求解．

解答：解：（1）設(shè)水桶p著地時(shí)的速度為v，小球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為vˊ，
 

v′

v

=

L

r

   ①
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
  Mgn2πr=

1

2

Mv2+6×

1

2

mv2   ②
由①②得，
  v=

4nπMgr M+6m L2 r2

   ③
（2）水桶p著地后，由于慣性，輪軸繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，先把繩子放松，以后再次把繩繞在筒上，從而又把重物從地面提升起來．在這過程中，6個(gè)小球的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為水桶p的重力勢(shì)能．
  6×

1

2

mv2=Mgh  ④
由①①④得，
  h=

12πnmL2

r(M+6m L2 r2 )

答：
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)n周后水桶p的速率v為

4nπMgr M+6m L2 r2

；
（2）重物提升起的最大高度h為

12πnmL2

r(M+6m L2 r2 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了能量守恒定律的直接應(yīng)用，能夠根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)得出小桶與小球速度的關(guān)系，能正確判斷能量如何轉(zhuǎn)化．