Question

8．如圖所示，重力為G的小球套在固定在豎直面內的半徑為R的光滑的大圓環(huán)上，勁度為k的輕彈簧上端固定在大圓環(huán)的最高點，下端與小球相連，當小球靜止時，彈簧處于伸長狀態(tài)，與豎直方向間的夾角為θ=30°求
（1）大圓環(huán)對小球彈力的大小F₁；
（2）彈簧對小球拉力的大小F₂；
（3）彈簧的原長．

Answer 1

分析 以小環(huán)為研究對象，分析受力情況，畫出力圖，根據平衡條件，運用三角形相似法求解即可．

解答 解：（1）選小環(huán)為研究對象，其受力情況如圖所示，由于小環(huán)處于平衡狀態(tài)；G，F₁，F₂三個力合力為零．可知彈簧處于拉伸狀態(tài)．
由圖可知，△AOB是等腰三角形，所以F₁=G=mg，
（2）彈簧對小球拉力的大小：${F}_{2}=2mgcosθ=2mgcos30°=\sqrt{3}mg$
（3）受力如圖所示，設彈簧與豎直方向夾角為θ．由幾何關系可以看出OB與豎直方向之間的夾角是2θ，F₁，F₂夾角為180°-θ．
根據幾何關系，有：$\frac{{F}_{2}}{sin2θ}=\frac{mg}{-sin（180°-θ）}$
由胡克定律，有F=k（2Rcosθ-L）
解得：L=$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{3}mg}{k}$ 
答：（1）大圓環(huán)對小球彈力的大小是mg；
（2）彈簧對小球拉力的大小是$\sqrt{3}$mg；
（3）彈簧的原長是$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{3}mg}{k}$．

點評 對于涉及非直角三角形的力平衡問題，可以運用三角相似法處理，也可以運用三角函數法研究．