Question

12．如圖所示，質(zhì)量m=3kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊A沿斜面下滑，經(jīng)O點(diǎn)以速度v₀水平飛出，落在木板上瞬間，物塊水平速度不變，豎方向速度消失．飛出點(diǎn)O距離地面度h=1.8m，質(zhì)量M=3kg、長(zhǎng)為L(zhǎng)=3.6m的木板B靜止在粗糙水平面上，木板高度忽略不計(jì)，其左端距飛出點(diǎn)正下方P點(diǎn)距離為s=1.2m．木板與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.3，與水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)的μ₂=0.1，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小物塊水平飛出后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間小物塊落到長(zhǎng)木板上；
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，初速度v₀的范圍；
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，小物塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)距P點(diǎn)距離是多少．

Answer 1

分析 （1）小物塊水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度h求時(shí)間．
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，其水平位移應(yīng)在這個(gè)范圍：S≤x≤S+L，根據(jù)小物塊水平方向勻速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求初速度v₀的范圍．
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，由題求得水平速度大小．之后小物塊向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，木板向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和速度時(shí)間公式求出兩者達(dá)到同速的時(shí)間和共同速度，之后兩者一起做勻減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求出兩者滑行的距離，從而得到小物塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)距P點(diǎn)距離．

解答 解：（1）小物塊水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù) h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}$s=0.6s
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，其水平位移應(yīng)在這個(gè)范圍：S≤x≤S+L，即有 1.2m≤x≤4.8m
根據(jù)x=v₀t得：初速度v₀的范圍為 2m/s≤v₀≤8m/s
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，小物塊落木板上時(shí)水平位移為 x=v₀t=4×0.6m=2.4m
落點(diǎn)距木板右端的距離為 s′=s+L-x=1.2+3.6-2.4=2.4m
小物塊落木板上瞬間，豎直分速度消失，物塊水平速度不變，仍為v₀=4m/s．
之后小物塊向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，木板向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)小物塊和木板的加速度大小分別為a₁和a₂．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)小物塊有：μ₁mg=ma₁；
對(duì)木板有：μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂；
代入數(shù)據(jù)解之得：a₁=3m/s²，a₂=1m/s²．
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t′兩者速度相同，則有：
 v₀-a₁t′=a₂t′
代入數(shù)據(jù)解得：t′=1s
共同速度為：v=a₂t′=1×1=1m/s
在t′時(shí)間內(nèi)小物塊的位移為 x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t′$=$\frac{4+1}{2}×1$=2.5m，木板的位移為 x₂=$\frac{v}{2}t′$=$\frac{1}{2}×$1=0.5m
由于x₁-x₂=2m＜s′，所以小物塊沒(méi)有滑出木板的右端，達(dá)到同速后兩者一起勻減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得：
-μ₂（M+m）gx₂=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：x₃=0.5m
故小物塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)距P點(diǎn)距離是 S_總=x+x₁+x₃=2.4+2.5+0.5=5.4m
答：（1）小物塊水平飛出后經(jīng)0.6s時(shí)間小物塊落到長(zhǎng)木板上；
（2）為了保證小物塊能夠落在木板上，初速度v₀的范圍是2m/s≤v₀≤8m/s；
（3）若小物塊水平速度v₀=4m/s，小物塊停止運(yùn)動(dòng)時(shí)距P點(diǎn)距離是5.4m．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，關(guān)鍵要理清小物塊與木板的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)．物塊在木板上滑行時(shí)，要注意研究共速狀態(tài)．