Question

7．粒子速度選擇器的原理圖如圖所示，兩水平長(zhǎng)金屬板間有沿水平方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和方向豎直向下、電場(chǎng)強(qiáng)度為E₀的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一束質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，以不同的速度從小孔O處沿中軸射入此區(qū)域，研究人員發(fā)現(xiàn)有些粒子能沿中軸線運(yùn)動(dòng)并從擋板上小孔P射出此區(qū)域，其他還有些帶電粒子也能從小孔P射出，射出時(shí)的速度與預(yù)期選擇的速度的最大偏差量為△v，通過(guò)理論分析知道，這些帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可以看作沿中軸線方向以速度為v₁的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度v₂在兩板間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)找那個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，v₁、v₂和△v均為未知量，不計(jì)帶電粒子重力及粒子間相互作用．
（1）若帶電粒子能沿中軸線運(yùn)動(dòng)，求其從小孔O射入時(shí)的速度v₀；
（2）增加磁感應(yīng)強(qiáng)度后，使帶電粒子以（1）中的速度v₀射入，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應(yīng)滿足什么條件？
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量△v，從而提高速度選擇器的速度分辨本領(lǐng)，水平金屬板的長(zhǎng)度L應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由粒子受力平衡求解即可；
（2）求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，然后再根據(jù)洛倫茲力作向心力求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，進(jìn)而得到d的條件；
（3）求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，然后分析提高分辨率的條件，再聯(lián)立勻速直線分運(yùn)動(dòng)將其轉(zhuǎn)化為距離．

解答 解：（1）粒子受電場(chǎng)力（方向：豎直方向）和洛倫茲力的作用，沿中軸線運(yùn)動(dòng)，則帶電粒子受力平衡，所以有qE₀=B₀v₀q，
所以，${v}_{0}=\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
（2）增加磁感應(yīng)強(qiáng)度后，使帶電粒子以（1）中的速度v₀射入，則粒子不能沿中軸線運(yùn)動(dòng)，那么，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可以看作沿中軸線方向以速度為v₁的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度v₂在兩板間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；
勻速圓周運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻速度方向水平，向心力方向豎直，所以，任一粒子將在中垂線的一邊運(yùn)動(dòng)；
所以，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，則兩板間距d的一半$\fracmuzz04f{2}$應(yīng)大于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的直徑；
對(duì)于沿中軸線方向以速度為v₁的勻速直線運(yùn)動(dòng)有：qE₀=Bv₁q，所以，${v}_{1}=\frac{{E}_{0}}{B}$；
所以，對(duì)于以速度v₂在兩板間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有$\left\{\begin{array}{l}{{v}_{2}={v}_{0}-{v}_{1}}\\{B{v}_{2}q=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}}\end{array}\right.$；
所以，$R=\frac{m{v}_{2}}{Bq}=\frac{m}{Bq}（\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}-\frac{{E}_{0}}{B}）$=$\frac{m{E}_{0}}{q}•\frac{B-{B}_{0}}{{B}^{2}{B}_{0}}$；
設(shè)B=kB₀，則$R=\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}（-\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{k}）=-[（\frac{1}{k}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}]\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
所以，當(dāng)k=2時(shí)，R取得最大值，${R}_{max}=\frac{m{E}_{0}}{4q{{B}_{0}}^{2}}$；
所以，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，則兩板間距d應(yīng)大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{{v}_{2}}=\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量△v，從而提高速度選擇器的速度分辨本領(lǐng)，則應(yīng)使不能沿軸線運(yùn)動(dòng)的粒子偏離軸線有最大距離，即圓周分運(yùn)動(dòng)完成半周期的奇數(shù)倍，則$L={v}_{0}（2n-1）\frac{T}{2}$=$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}×（2n-1）×\frac{πm}{{B}_{0}q}$=$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$；
答：（1）若帶電粒子能沿中軸線運(yùn)動(dòng)，則其從小孔O射入時(shí)的速度v₀為$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
（2）增加磁感應(yīng)強(qiáng)度后，使帶電粒子以（1）中的速度v₀射入，要讓所有帶電粒子均不能打到水平金屬板，兩板間距d應(yīng)大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，為了減小從小孔P處射出粒子速度的最大偏差量△v，從而提高速度選擇器的速度分辨本領(lǐng)，水平金屬板的長(zhǎng)度L為$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$．

點(diǎn)評(píng) 在利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解時(shí)，力與速度滿足相同的疊加法則，所以，洛倫茲力也可以根據(jù)速度的分解而分解．