Question

4．投影儀的鏡頭是一個半球形的玻璃體，光源產(chǎn)生的單色平行光投射到平面上，經(jīng)半球形鏡頭折射后在光屏MN上形成一個圓形光斑．已知鏡頭半徑為R，光屏MN到球心O的距離為4R，玻璃對該單色光的折射率為n=$\sqrt{2}$，不考慮光的干涉和衍射．求：
（1）能從玻璃體射出的平行光到O點的距離d需滿足什么條件．
（2）光屏MN上被照亮的圓形光斑的半徑．（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）平行光在玻璃磚內(nèi)表面恰好發(fā)生全反射時的入射角，即為臨界角，由sinC=$\frac{1}{n}$求臨界角C，再由幾何知識求平行光到O點的距離d．
（2）作出光路圖，由幾何知識求光屏MN上被照亮的圓形光斑的半徑．

解答 解：（1）如圖所示，光線入射到D點時恰好發(fā)生全反射，則 $sinC=\frac{1}{n}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得 C=45°
由幾何關系有 $OA=RsinC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
所以 $d≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
（2）由幾何關系有 $\overline{OF}=\frac{R}{cosC}=\sqrt{2}R$
又因為 $\frac{\overline{O′F}}{r}$=tanC，$\overline{{O^'}F}=4R-\overline{OF}$
解得 $r=（{4-\sqrt{2}}）R$
答：
（1）能從玻璃體射出的平行光到O點的距離d需滿足的條件是 $d≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$．
（2）光屏MN上被照亮的圓形光斑的半徑是（4-$\sqrt{2}$）R．

點評 本題的關鍵是要掌握全反射的條件，要作出光路圖，根據(jù)幾何知識求出入射角與折射角，知道折射率和臨界角的關系．