Question

11．“嫦娥一號”的成功發(fā)射，為實現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢想邁出了重要的一部，假設(shè)“嫦娥一號”在月球的近地軌道上做勻速圓周運動，繞行周期為T，月球的半徑為R，萬有引力常量為G．
（1）求月球的質(zhì)量M；
（2）求月球表面的重力加速度g_月；
（3）若某天中國宇航員能成功登月，宇航員駕駛飛船在月球表面附近的豎直平面內(nèi)俯沖，在最低點附近的一小段軌跡可看作半徑為r的圓弧，宇航員質(zhì)量是m，飛船經(jīng)過最低點時的速度是v，求飛船經(jīng)過最低點時，座椅對宇航員的支持力N．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力求出月球的質(zhì)量．
（2）在月球表面，月球?qū)ξ矬w的萬有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g
（3）由萬有引力定律求出月球附近的重力加速度，宇航員做圓周運動的向心力由座位的支持力與重力的合力提供，由牛頓第二定律列方程，可以求出座位對宇航員的作用力

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M，“嫦娥一號”的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，對“嫦娥一號”繞月飛行的過程有
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（3）設(shè)月球表面的重力加速度為g，
有萬有引力定律可得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}{R}^{\;}}{{T}^{2}}$
（3）座位的作用力與宇航員受到的重力的合力提供向心力，
由牛頓第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：N=$m（\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}+\frac{{v}^{2}}{r}）$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）求月球表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{R}^{\;}}{{T}^{2}}$；
（3）飛船經(jīng)過最低點時，座椅對宇航員的支持力N為$m（\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}+\frac{{v}^{2}}{r}）$．

點評 能正確根據(jù)衛(wèi)星運動時的向心力由萬有引力提供和量球表面的重力和萬有引力相等列式求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問題．