Question

7．如圖所示，足夠長的平行金屬導軌MN、PQ間距為L，與水平面成θ角固定放置，導軌上下兩端分別與固定電阻R₁和R₂相連，且R₁=R₂=R．整個導軌面均處于勻強磁場中，并與磁場方向垂直．有一質量為m的導體棒ab與導軌垂直放置，接觸面粗糙且始終接觸良好，導體棒接入電路中的電阻也為R．現(xiàn)讓導體棒從靜止釋放沿導軌下滑，當導體棒運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時速率為υ，此時整個電路消耗的電功率為重力功率的$\frac{3}{4}$．已知當?shù)氐闹亓�加速度為g，導軌電阻不計．求：
（1）在上述穩(wěn)定狀態(tài)時，ab中的電流I和磁場的磁感應強度B．
（2）如果ab達到穩(wěn)定狀態(tài)時，沿導軌下滑的距離為x，在這一過程中回路產生的電熱是多少？

Answer 1

分析 （1）當導體棒勻速運動時達到穩(wěn)定狀態(tài)，此時速率為V，重力功率為mgVsinθ．由E=BLV、閉合電路的歐姆定律、電功率的計算公式P_電=I²R_總，得到回路的總電功率P_電，根據電功率為重力功率的$\frac{3}{4}$，列式求磁感應強度B．并求出通過ab棒的電流I；
（2）根據重力功率等于電功率與克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中產生的電熱．

解答 解：（1）當導體棒以速度v勻速下滑時電路中的總電阻為：R_總=$\frac{3}{2}$R
感應電動勢為：E=BLv
導體棒中的電流為：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$，
總電功率為：P_電=I²R_總
重力的功率為：P_重=mgv sinθ
根據題意有：P_電=$\frac{3}{4}$P_重
解得：B=$\frac{3}{2L}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$，I=$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$；
（2）設導體棒與導軌間的滑動摩擦力大小為f，根據能的轉化和守恒定律可知：
 則有 $\frac{1}{4}$mgvsinθ=fv
所以：f=$\frac{1}{4}$mgsinθ
根據能的轉化和守恒定律可知：mg xsinθ=fx+$\frac{1}{2}$mv²+Q
解得：Q=$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}$mv²．
答：（1）在上述穩(wěn)定狀態(tài)時，ab中的電流為$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$，磁場的磁感應強度為$\frac{3}{2L}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$．
（2）如果ab達到穩(wěn)定狀態(tài)時，沿導軌下滑的距離為x，在這一過程中回路產生的電熱是$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}$mv²．

點評 解答本題關鍵是通過分析功率關系，求出磁感應強度和摩擦力，是電磁感應與電路結合的題目，明確電路的結構解決問題．同時，對于感應電量，要很熟練地根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=It進行推導．