Question

9．我國研制的“神舟”七號載人飛船順利升空后，首先沿橢圓軌道運(yùn)行，然后變軌繞地球作勻速圓周運(yùn)動．若飛船勻速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)距地面的高度為h，地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，萬有力常數(shù)為G，求：
①飛船繞地球運(yùn)行的速率；
②飛船繞地球運(yùn)行的加速度與地球表面物體重力加速的比值．（忽略地球自轉(zhuǎn)的影響）

Answer 1

分析 在地球表面，重力和萬有引力相等，神舟七號飛船軌道上，萬有引力提供飛船做圓周運(yùn)動的向心力；
忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式；月球繞地球在引力提供向心力作用下做勻速圓周運(yùn)動，從而可求出球繞地球運(yùn)行的向心加速度與地球表面的重力加速度的之比．

解答 解：①地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m
對飛船有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
②物體在地球表面所受的重力等于其引力，則有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
飛船繞地球在引力提供向心力作用下做勻速圓周運(yùn)動，則有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=ma_n
聯(lián)立上兩式可得：a_n：g=R²：（R+h）²；
答：①飛船繞地球運(yùn)行的速率$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
②飛船繞地球運(yùn)行的加速度與地球表面物體重力加速的比值R²：（R+h）²．

點(diǎn)評 萬有引力的應(yīng)用兩點(diǎn)注意：（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關(guān)系；
由重力近似等于萬有引力得到的表達(dá)式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$被稱為黃金代換式．