Question

4．“魔盤(pán)”是一種神奇的游樂(lè)設(shè)施，它是一個(gè)能繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的帶有豎直側(cè)壁的大型轉(zhuǎn)盤(pán)，隨著“魔盤(pán)”轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的增大，“魔盤(pán)”上的人可能滑向盤(pán)的邊緣．如圖所示，質(zhì)量為m的人（視為質(zhì)點(diǎn)）坐在轉(zhuǎn)盤(pán)上，與轉(zhuǎn)盤(pán)中心O相距r，轉(zhuǎn)盤(pán)的半徑為R，人與盤(pán)面及側(cè)壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g．
（1）當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度大小為ω₀時(shí)，人未滑動(dòng)，求此時(shí)人受到的摩擦力大小和方向；
（2）使轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)速緩慢增大，求人與轉(zhuǎn)盤(pán)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度大小ω；
（3）當(dāng)人滑至“魔盤(pán)”側(cè)壁時(shí)，只要轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度不小于某一數(shù)值ω_m，人就可以離開(kāi)盤(pán)面，貼著側(cè)壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)，試求角速度ω_m的大�。�

Answer 1

分析 （1）人做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心力的公式求此時(shí)人的向心力大小；
（2）靜摩擦力提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，此時(shí)的角速度為最大角速度；
（3）人可以離開(kāi)盤(pán)面，貼著側(cè)壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，豎直方向受力平衡，水平方向側(cè)壁對(duì)人的支持力提供向心力，據(jù)此列式即可求解．

解答 解：（1）人做圓周運(yùn)動(dòng)，摩擦力作為向心力，有：
$f=mω_0^2r$
方向：指向轉(zhuǎn)盤(pán)中心O點(diǎn)
（2）靜摩擦力提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，此時(shí)的角速度為最大角速度，則：
μmg=mω²r
解得：$ω=\sqrt{\frac{μg}{r}}$
所以當(dāng)$ω＞\sqrt{\frac{μg}{r}}$時(shí)，人與轉(zhuǎn)盤(pán)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；
（3）人可以離開(kāi)盤(pán)面，貼著側(cè)壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，豎直方向受力平衡，水平方向側(cè)壁對(duì)人的支持力提供向心力，則有：
${F}_{N}={{mω}_{m}}^{2}R$
μF_N=mg
解得：${ω}_{m}=\sqrt{\frac{g}{μR}}$，與質(zhì)量無(wú)關(guān)，所以不同意．
答：（1）人受到的摩擦力大小mω²r，方向指向轉(zhuǎn)盤(pán)中心O點(diǎn)；
（2）當(dāng)$ω＞\sqrt{\frac{μg}{r}}$時(shí)，人與轉(zhuǎn)盤(pán)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；
（3）角速度ω_m的大小為$\sqrt{\frac{g}{μR}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道物塊和圓盤(pán)一起做圓周運(yùn)動(dòng)，靠靜摩擦力提供向心力，知道當(dāng)人離開(kāi)盤(pán)面，貼著側(cè)壁一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，豎直方向受力平衡，水平方向側(cè)壁對(duì)人的支持力提供向心力．