Question

9．如圖所示，足夠大的光滑絕緣水平桌面置于平行桌面的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直桌面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在桌面建立xOy坐標(biāo)系．桌面上質(zhì)量m=2.0×10^-2kg、電荷量q=1×10^-4C的帶正電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O平行桌面以v₀=1m/s的速度射入電磁場(chǎng)區(qū)域．在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，小球到達(dá)點(diǎn)M（30cm，40cm）時(shí)，動(dòng)能變?yōu)镺點(diǎn)動(dòng)能的0.5倍，速度方向垂直O(jiān)M，此時(shí)撤掉磁場(chǎng)，一段時(shí)間后小球經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（62.5cm，0），動(dòng)能變?yōu)镺點(diǎn)動(dòng)能的0.625倍．設(shè)O點(diǎn)電動(dòng)勢(shì)為0，不考慮磁場(chǎng)撤掉時(shí)對(duì)電場(chǎng)的影響，求：
（1）M點(diǎn)電勢(shì)；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（3）小球由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）分析小球受力及做功情況，應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（2）在ON的延長(zhǎng)線上找到M的等勢(shì)點(diǎn)P，連接MP，過(guò)O點(diǎn)做MP的垂線，垂線方向即為場(chǎng)強(qiáng)方向，求得垂線長(zhǎng)度，利用場(chǎng)強(qiáng)的定義式即可求得場(chǎng)強(qiáng)大小；
（3）分析小球運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)，求得類平拋運(yùn)動(dòng)的初速度及初速度方向上的位移分量，進(jìn)而可求得時(shí)間．

解答 解：（1）小球在水平桌面上運(yùn)動(dòng)，受重力、支持力、洛倫茲力、電場(chǎng)力作用，
因?yàn)橹亓�、支持力、洛倫茲力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以，重力、支持力、洛倫茲力不做功；
對(duì)小球從O運(yùn)動(dòng)到M應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$q{U}_{OM}=（0.5-1）×\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
有：${φ}_{M}={φ}_{O}-{U}_{OM}=0-（-0.5）×\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$=$0.5×\frac{2.0×1{0}^{-2}×{1}^{2}}{2×1×1{0}^{-4}}V=50V$；
（2）同（1）可得，N點(diǎn)的電勢(shì)${φ}_{N}={φ}_{O}-{U}_{ON}=0-（0.625-1）×\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$=$0.375×\frac{2.0×1{0}^{-2}×{1}^{2}}{2×1×1{0}^{-4}}V=37.5V$；
在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿一條直線方向場(chǎng)強(qiáng)大小不變，則令$OP=\frac{62.5}{37.5}×50cm=\frac{250}{3}cm$，
可得：φ_P=50V；
；
連接MP，則有$\frac{OH}{MH}=\frac{MH}{HP}$，所以，OM⊥MP，
因?yàn)棣?SUB>M＞φ_O，所以，勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為MO方向，有：$E=\frac{{U}_{MO}}{OM}=\frac{50V}{50cm}=100V/m$；
（3）小球到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，動(dòng)能變?yōu)镺點(diǎn)動(dòng)能的0.5倍，則速度為：$v=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}m/s$；
小球初速度方向?yàn)镸P方向，加速度方向?yàn)镸O方向，所以，加速度方向與初速度方向垂直，小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，作NG⊥MP，G在MP上，，
則有$\frac{MG}{MP}=\frac{ON}{OP}$，所以有：$MG=\frac{ON}{OP}×MP=\frac{62.5}{\frac{250}{3}}×\sqrt{（\frac{250}{3}）^{2}-5{0}^{2}}cm$=$\frac{3}{4}×50×\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}-1}cm=50cm$；
所以，小球由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)所需的時(shí)間為：$t=\frac{MG}{v}=\frac{50cm}{\frac{\sqrt{2}}{2}m/s}$=$\frac{0.5m}{\frac{\sqrt{2}}{2}m/s}=\frac{\sqrt{2}}{2}s$．
答：（1）M點(diǎn)電勢(shì)為50V；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為100V/m，方向?yàn)镸O方向；
（3）小球由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)所需的時(shí)間為$\frac{\sqrt{2}}{2}s$．

點(diǎn)評(píng) 給定一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，則沿任一方向都是勻強(qiáng)電場(chǎng)，只是場(chǎng)強(qiáng)大小不大于給定場(chǎng)強(qiáng)．