Question

19．如圖所示，質(zhì)量m的小物體，從光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道上與圓心等高處由靜止釋放，到達(dá)底端時(shí)進(jìn)入總長為L的水平傳送帶，傳送帶可由一電機(jī)驅(qū)使順時(shí)針轉(zhuǎn)動．已知物體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，$\frac{1}{4}$圓弧軌道半徑為r．求：
（1）求物體剛到達(dá)軌道底端時(shí)速度v₀及對軌道壓力的大��；
（2）若電機(jī)不開啟，傳送帶不動，物體能夠從傳送帶右端滑出，則物體到達(dá)傳送帶右端時(shí)的速度；
（3）若開啟電機(jī)，傳送帶以速率v₂順時(shí)針轉(zhuǎn)動．已知物體在傳送帶上能加速，且到達(dá)傳送帶右端前速度已達(dá)到v₂，則傳送一個(gè)物體電動機(jī)對傳送帶多做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）物體在曲面上運(yùn)動時(shí)，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物體到達(dá)曲面底端時(shí)的速度大小．由牛頓運(yùn)動定律求物體對軌道的壓力．
（2）對在傳送帶上的運(yùn)動過程，運(yùn)用動能定理，求出物體滑離傳送帶右端時(shí)的速度大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在傳送帶上運(yùn)行的加速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出運(yùn)行的時(shí)間，從而得出這段過程中傳送帶的位移，根據(jù)能量守恒得出傳送一個(gè)物體電動機(jī)多做的功．

解答 解：（1）物體滑下過程機(jī)械能守恒，有：$mgr=\frac{1}{2}mv_0^2$ 得 ${v_0}=\sqrt{2gr}$
根據(jù)牛頓第二定律：$N-mg=m\frac{v_0^2}{r}$
可得 N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，物體對軌道壓力 N′=N=3mg  
（2）從物體開始下落到它到達(dá)傳送帶右端，根據(jù)動能定理得
 $mgr-μmgL=\frac{1}{2}mv_1^2$
則 ${v_1}=\sqrt{2g（r-μL）}$
（3）物體先加速后勻速，勻速階段沒有摩擦力，不再對物體做功
加速階段多做的功為傳送帶克服摩擦力做的功 W=μmg•s_帶
傳送帶位移 s_帶=v₂t
加速時(shí)間 $t=\frac{{{v_2}-{v_0}}}{μg}$
解得 $W=m{v_2}（{v_2}-{v_0}）=m{v_2}（{v_2}-\sqrt{2gr}）$
（或用 $W=Q+\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_0^2$，摩擦生熱  Q=μmg（s_帶-s_物），物體位移s_物=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2μg}$求解）
答：
（1）物體剛到達(dá)軌道底端時(shí)速度v₀為$\sqrt{2gr}$，對軌道壓力的大小為3mg．
（2）物體到達(dá)傳送帶右端時(shí)的速度為$\sqrt{2g（r-μL）}$．
（3）傳送一個(gè)物體電動機(jī)對傳送帶多做的功為mv₂（v₂-$\sqrt{2gr}$）．

點(diǎn)評 本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動能定理和能量守恒定律，要知道電動機(jī)多做的功等于摩擦力對傳送帶做功的大小．