Question

17．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的軌道，由一段斜的直軌道AB和光滑半圓形軌道BC平滑連接而成，AB的傾角為30°，半圓形軌道的半徑．R=0.1m，直徑BC豎直．質(zhì)量m=1kg的小物塊從斜軌道上距半圓形軌道底部高為h處由靜止開(kāi)始下滑，經(jīng)B點(diǎn)滑上半圓形軌道．己知物塊與斜軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g取g=10m/s²．
（1）若h=1m，求物塊運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若物塊能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)C，求h的最小值；
（3）試求物塊經(jīng)最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道壓力F隨高度h的變化關(guān)系，并在圖示坐標(biāo)系中作出F-h圖象．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于物塊在斜面下滑的過(guò)程，由機(jī)動(dòng)能定理即可求得物體通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度，物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由軌道的支持力和重力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求物塊對(duì)軌道的壓力；
（2）物塊恰好通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)C時(shí)由重力提供向心力，此時(shí)h最�。�由牛頓第二定律求出C點(diǎn)的最小速度，再由動(dòng)能定理求解h的最小值．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理和向心力公式結(jié)合得到F與h的表達(dá)式，再畫出F-h圖象．

解答 解：（1）設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)速度大小為v，所受的支持力為N．
根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh-μmgcos30°•$\frac{h}{sin30°}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)，解得 N=110N
根據(jù)牛頓第三定律知，物塊對(duì)軌道的壓力大小為110N，方向豎直向下．
（2）設(shè)物塊恰好能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)C，此時(shí)對(duì)應(yīng)的高度為h_min，C點(diǎn)的速度為v₀．
根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh_min-μmgcos30°•$\frac{{h}_{min}}{sin30°}$-2mgR=-0
經(jīng)最高點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)向心力公式有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)，解得 h_min=0.5m
（3）設(shè)物塊到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，軌道對(duì)物塊的彈力大小為F_N．
根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh-μmgcos30°•$\frac{h}{sin30°}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
經(jīng)最高點(diǎn)C，根據(jù)向心力公式有：F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 F_N=100h-50（N）（h≥0.5m）
則壓力 F=F_N=100h-50（N）（h≥0.5m），作出F-h圖象如圖．
答：
（1）物塊運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力是110N；
（2）若物塊能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)C，h的最小值是0.5m；
（3）作出F-h圖象如圖．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵分析物體的受力情況，確定圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，運(yùn)用函數(shù)法得出壓力F與h的關(guān)系式．